金曜日

三角形を貼る

先生の話

今週は, 硬い面と柔らかい面の 2 つ面が主題でした. 微分幾何学が対象とする面は，基本的には硬い面の方です。しかしそれについては少しコメントがいるでしょ5．微分幾何学で対象とする曲面では第 1 基本形式が基本となります。あるいはそれをはるかに抽象化したリーマンの立場にしても，“無限小の長さ”を測る計量

d s^{2} =

\sum g_{i j} d x^{i} d x^{j}

が最初に設定され, そこからスタートします. この計量を通して記述されるものが，非ユークリッド幾何学の曲面も含むよらな微分幾何学の主要な対象となるのです。したがってたとえば曲面が鋼鉄の薄い板でできているならばそれをたわめても長さは変わりませんから，微分幾何学の対象としては同じ曲面と見てもよいことになります。もちろん第 2 基本形式が関係するような量では, もっと曲面の形そのものがかかわってきますが，一般的な立場からみれば，それは少し特殊なテーマといらことになります。その意味では微分幾何学で取り扱う曲面は, 陶器や磁器でつくった曲面ほどは硬くないといえます。

しかしそれでも, 粘土で曲面の形をつくるように曲面が自由に変形でさるよらにすると，長さは伸び縮みして変わりますから，これらの曲面から共通な微分幾何学的な量を取り出すことは基本的にはできなくなってしまいます。したがってこのよらな変形を許す曲面の中から，何か共通の性質を見出そうと曲面をじっと見つめる視点は微分幾何学的なものとは違ってきます. 法截面も切り口の曲線もどんどん変わっていくのです. この微分幾何学と異なる見方で見る視点を，わかりやすく硬い面と対照する形で柔らかな面といったのです.

もら少し数学的にいえば, 硬い面を見る視点は微分的視点なのです. 曲面上の各点のまわりの形の微小な変化を追求し，そこから各点での曲がり方を示す微分的量を求めていくと, 各点で得られたその量は曲面全体で見れば，曲面上の 1 つの関数を生むでしょう．そ

の関数のもつ解析的な性質が，曲面の形を表わす数学の定式化であると考之るのです。曲面は解析の世界の中でその形を見出すことになります。ここには抽象化へ向けての 1 つの足がかりがあります. そしてリーマンが曲面概念を高次元へと向けて拡張しよらとした 1 つの接点もまたここにあったと考えてよいでしょら。

それに対して柔らかな面を見る視点は連続的視点であるといってよいのです. 実際, 子供が粘土をこねて 1 つの形をつくっていくとき，私たちの眼は粘土が連続的に形を変えながら示していく全体像を追っています。しかしこの変化する全体像の中にも，ある共通した性質はあるのです。たと之ば子供が象を粘土でつくろらとするとき，その手許を見ているお母さんは，粘土のかたまりから鼻が伸ばされ，太い4本の足が伸ばされてきても黙っているでしょらが，胴体となるところに大きな穴があけられればとれは違らといらでしょ 5 .

2 つの曲面

S

と

S^{'}

に対して,

S

から

S^{'}

のへの 1 対 1 の連続写像があるとき，

S

と

S^{'}

は同相であるといいます. 球面と浮輪とは同相ではありません，ゴム風船を変形して象のよらな形をつくることはできますが，球面を変形して浮輪をつくることはできないのです.

このような同相な曲面の中から，何かある共通な性質を数学的に定式化して捉兄よらとする研究の方向は, 現在数学の中でトポロジ一とよばれている研究分野への方向を指し示すことになります。トポロジーで用いる方法は，微分幾何の方法とはまったく異なります。

いま曲面を，伸縮可能なゴム膜でつくった三角形の小片で，重なることなく貼っていき，曲面全体をお扐ったとします。曲面を連続的に変形していったとき，そ机応じて曲面上に貼られた 1 つ 1 つの三角形も伸び縮みして形を変えるでしょら。しかし隣接している三角形どらしの関係は変わりません. 三角形に

A, B, C, \dots

のように符号をつけておけば，

A

に

B

が貼られ，B

C

が貼られているといら関係は，伸び縮みでは変わりません。しかしたとえば球面の場合を考えてみても，赤道に沿って三角形を順に隣接する辺どらし

を(糊しろをつけて)貼り合わせていけば, 1 周し終ったところで最初の三角形の辺とまた貼り合わすことになり女す.ここに貼り合わせに対して 1 つの関係が生じてきます。（幼稚園で子供たちが 1 列に手をつないで輪をつくろらとするとき, 最後の子供が最初の子供と手を結んだとき, 1つの関係が生じ，その関係が輪の形となって現われるよらなものです.）このよらな関係は赤道だけではなくて，球面のいたるところでおきていますが，この関係は球面の連続的な変形では変わりません。したがって，この関係をもっとはっきりした形で取り出すことに成功すれば，それは柔らかい面としての球面の性質を特性づけるものとなるでしょら。この考方方はトポロジー的な考え方です.

このよらな視点から曲面を捉えようとした最初の数学者はやはりオイラーでした. 今日はそのオイラーの考えから話をしていくことにしましょう。

正多面体

合同な正多角形を貼り合わせて得られる多面体を正多面体という。正多面体は 5 種類しかないといらことは古代ギリシャの昔から知られていた。それらは正 4 面体, 正 6 面体, 正 8 面体, 正 12 面体,正 20 面体であって, それぞれ正 3 角形, 正 4 角形, 正 3 角形, 正 5 角形, 正 3 角形を貼り合わせてできている. 面と面の交わりとして得られる線分を稜という. 正多面体の, 頂点と稜と面の個数は次のよらになっている.

	頂点の数	稜の数	面の数
正 4 面体	4	6	4
正 6 面体	8	12	6
正 8 面体	6	12	8
正 12 面体	20	30	12
正 20 面体	12	30	20

これを眺めていただけではすぐに気がつく関係ではないかもしれないが，ここに

正 4 面体

正 12 面体

正 6 面体

正 8 面体

正 20 面体

\begin{matrix} (1) & (頂点の数) - (稜の数) + (面の数) = 2 \end{matrix}

という関係が成り立っている。たとえば正 6 面体と正 12 面体の場合に確かめてみると

正 6 面体 :

8 - 12 + 6 = 2

正 12 面体:

20 - 30 + 12 = 2

(1)が成り立つことは，このように上の表を見ながら5つの正多面体について確かめてみれば，それでわかったことになるのだが，

（1）は実は正多面体だけに限らず，もっと一般の場合にも成り立っている特徴的な関係である。これからそのようなところへ話を進めるために，まずもっとも簡単な正 6 面体と正 8 面体の場合に(1)がなぜ成り立つかの理由を，図を使って明らかにしておこう．問題はなぜ右辺に 2 が現われるかといらことにある。

説明のため

p

を頂点の数,

q

を稜の数,

r

を面の数とする。（1はこのとき

\begin{matrix} (2) & p - q + r = 2 \end{matrix}

と表わされる.

図（I)は，左に正 6 面体，右に正 8 面体を描いている。これらを上から見た一種の展開図が (II )となっている。ただし 1 つの面は底面となっていて，それはこの図では外周の裏側に隠れており，そこにもら1つの面があると考えておく．（正 8 面体の方はいくつかの
稜が曲線で書かれている.）だから正 6 面体の面の数

r = 6

は,

（II）で区画された部分の数を数えるときには 1 つ減って，

r - 1 = 5

となっている．正 8 面体の方は，

r = 8

が，（II )の区画数でいうと

r

( I )

\sqrt{↓}

( II )

( III)

(IV)

\sqrt{b}

(V)

⇓

(VI)

(VII)

- 1 = 7

になっている. 図 (III)では, カゲをつけた部分に水を入れて, 次に順次, 隣接する区画の境界線（（I )では稜に対応している）を取り払って，この水がすべての区画に(裏側にある区画にも)行き渡るよらにする様子を矢印を用いて描いている。このとき取り払った境界線の数は

r - 1

である。図（V )ではこのよらにして得られた, 残った境界線だけからなるグラフを描いている。このグラフを形成する線分の数は

\begin{matrix} (3) & q - (r - 1) \end{matrix}

である。また図を見れば明らかだし，また説明することも簡単だが，このグラフは連結したグラフになっている. このグラフの頂点(線分の端点)の個数は

p

である.

このグラフで，枝の先の方から 1 つずつ線分を取り除いていく.

このとき枝先の点も同時に取り除く. その様子を図 ( V ), ( V )で書いてある。このよらにしていくと

p

個の頂点のらち

p - 1

個が取り除かれて, 図(VII)で示してあるように, 最後に 1 点だけが残る.

線分を取り除くと同時に, 点を 1 つずつ取り除いたのだから,このことは(3)の値が

p - 1

に等しいことを示している. すなわち

q - (r - 1) = p - 1

である.この式を整理すると

p - q + r = 2

となり，（2)が，したがってまた(1)が正 6 面体と正 8 面体の場合に示されたことになる。同様の考えで，すべての正多面体について (1)が確かめられる.

オイラーの公式

ところがいまの証明をよくみると，ここで用いた事実は，頂点と稜と面とが互いに“貼り合わされている” 相互関係だけであって，したがって次の図で示した多面体に対しても，（1）の関係はやはり成り立つのである。

(a)

(b)

(c)

この図の(a)，(b)はとくに問題はないだろらが，（c)には少し説明がいるかもしれない。（c)は球面を，多角形でおおった図を書いている。隣接した多角形は 1 辺だけを共有している。サッカーボールの表面に皮が貼られている様子を想像されるとよいかもしれない。このとき多角形は球面上に貼られているので，いわば “曲多角形” となっている、しかし, このような場合にも関係式(1)が成り立つことは，上に述べたように，(1)を成り立たせるものは形そのものではなく, 頂点と棱(いまの場合は多角形の辺)と面との相互関係だからである.

この(c)の方を中心にしてみれば，正多面体にしても図の(a), （b）にしても，適当に風船の上らに思ってふくらましていけば，（c）の形になっている，形を無視すれば，多面体の辺，稜，面の相互関係を示す 1 つの標準的な表示は(c)によって与えられていると考之てよい。

そのよらな観点に立てば，関係式(1)を次のよらにいいかえておく万が，もっと一般的なことになる。

球面を多角形で重なり合わないように分割する．隣接する多角形は 1 つの辺を共有しているとする。この分割に現われた頂点と辺と(多角形の)面の個数をそれぞれ

p, q, r

とすると

p - q + r = 2

が成り立つ.

私たちはこれをオイラーの公式とよぶことにしよう，多面体のときは

q

を稜の数といったが，それをここでは辺の数といいかえてお

いた。

隣接する多角形は 1 つの辺を共有しているといら条件をおいたが，それは多面体では 2 の面は 1 つ稜を共有しているということに対応している条件である。この条件をおくことが絶対に必要というわけではないが，あとの三角形の分割との関連もあって，この条件をおいたのである.

球面の三角形分割

球面を，隣接する多角形は 1 辺だけを共有するよらにして多角形に分割すると，いつでもオイラーの公式は成り立つが，実際はそのことを示すためには, 球面を三角形で分割した場合だけを考えれば十分なのである.

なぜなら図のよらに, 多角形

ABCDEF

を点線で示したよらに三角形に分割してみる。このときたとえば点線 ACを最初に引いてみると, これによって辺の個数が 1 つ増えるが, 同時に多角形

ABCDEF

が 2 つに分解されて, 多角形の個数も 1 つ増える. すなわちこの操作で

p - q + r

の個数は変わらない. したがって多角形をすべてこのよらに三角形に分割してから，

p - q + r = 2

を示せば，実は最初の多角形の分割に対しても, 同じ関係式が成り立つことを示したことになる.ここでオイラーの公式で，＋（プラス)と-(マイナス)が交互に現われるといら定式化が巧みに働いていることを注意されるとよいだろら。

このようにして，私たちはオイラーの公式の彼方にしだいに球面

の三角形分割という像が浮かび上がってくるのを察知することができるのである. 球面の三角形分割とは, 球面を三角形のタイル(といっても“曲三角形”であり，三角形のゴム膜といった方がよいかもしれない)で重なり合わないよらにおおらことで，ここで条件

(A) 2 三三角形

△, △^{'}

とったとき

△ \cap △^{'} = \emptyset

( は空集合を表わす)

か,

△ \cap △^{'}

は 1 頂点または 1 辺を共有する

をみたしているものである。したがって図(d)のような三角形の貼り万は分割とは考えない。

(a)

(b)

(c)

(d) 分割と考えない

オイラーの公式は，結局球面をどのように三角形分割しても，つねに

p - q + r = 2

といら関係が成り立つことを示している。してみると，この公式はそれぞれの三角形分割の性質というより, 球面のもつ1つの性質が三角形分割を通して浮かび上がってきたものであるとみることができるものである.

ドーナツ面に対するオイラーの公式

それでは，球面ではなくてドーナッ面を三角形分割したときには，オイラーの公式はどんな形をとるのだろらか。ドーナッ面とは，実際ドーナツをつくるときにそらするよらに，球から穴を 1 つ抜きとって得られる図形の表面のことである.

いま球面(地球表面を思い浮かべてほしい)を三角形分割し，北極の近くをお打ら三角形を

△

，南極の近くをおおら三角形を

△^{'}

とし，

△ \cap △^{'} = \emptyset

とる. 球面から

△

と

△^{'}

の内部を抜いて,

△

から

メ'へと1つトンネルを球に貫通させる。そうしてできた穴は, 底面が

△^{'}

, 上面が

△

の三角形にくり抜いたトンネル状になっている。トンネル内部を形づくる三角柱の表面をさらに三角形に分割しても，しなくても，オイラーの公式を確かめるときには同じ結果になる。だから，球面の三角形分割とこの三角柱の表面とでドーナッ面の “三角形分割” ができたと考えて, このときの頂点の数

p^{'}

, 辺の数

q^{'}

, 面の数

r^{'}

を数えてみよう.

そのため, 最初の球面の三角形分割に現われた頂点の数を

p

, 辺の数を

q

, 面の数を

r

とすると，明らかに

\begin{array}{ll} p^{'} = p \\ q^{'} = q + 3 & (3は三角柱の側面の稜の数) \\ r^{'} = (r - 2) + 3 & (3 は三角柱の側面の面の数) \end{array}

が成り立つ.

p - q + r = 2

だから,

\begin{aligned} p^{'} - q^{'} + r^{'} & = p - (q + 3) + (r - 2) + 3 \\ = p - q + r - 2 = 0 \end{aligned}

となる.

いまの場合，ドーナッ面の特別な三角形分割を用いて計算したが，実はこの結果はドーナッ面の任意の三角形分割に対して成り立つ. すなわち

ドーナッ面の三角形分割に対して, 頂点の数を

p^{'}

, 辺の数を

q^{'}

, 面の数を

r^{'}

とると

p^{'} - q^{'} + r^{'} = 0

が成り立つ.
球面のときのオイラーの公式の右辺に現われた 2 は, ドーナツ面では 0 へと変わったのである!

いくつかの穴のあいた曲面

それでは，球に 2 つ穴をあけて得られる図形の表面一 2 つ穴の浮輪—の三角形分割に対してはオイラーの公式はどのよらな形をとるのだろらか。このときもドーナッ面と同じよらに考之て，2つの穴を 2 つの角柱で貫通させることによってつくり，そこで頂点の数

p^{''}

, 辺の数

q^{''}

, 面の数

r^{''}

を求めてみることにしょう.

そのため帰納的な考えを用いることにし，ドーナッ面(頂点の数

p^{'}

, 辺の数

q^{'}

, 面の数

r^{'})

にも 1 つの三角柱の穴をあけたと考之ることにする。そうすると前と同様の関係

\begin{aligned} p^{''} & = p^{'} \\ q^{''} & = q^{'} + 3 \\ r^{''} & = (r^{'} - 2) + 3 \end{aligned}

が成り立つ. したがって

p^{'} - q^{'} + r^{'} = 0

亿注意して

\begin{aligned} p^{''} - q^{''} + r^{''} & = p^{'} - (q^{'} + 3) + (r^{'} - 2) + 3 \\ = p^{'} - q^{'} + r^{'} - 2 = - 2 \end{aligned}

となる。

このことから読者は一般に

g

個の穴のあいた浮輪の表面を三角形分割したとき，次の形をとることが推測されるだろう。

g

個の穴のあいた浮輪の表面を三角形分割し, 頂点の数を

\tilde{p}

,辺の数を

\tilde{q}

, 面の数を

\tilde{r}

とする.このとき

\begin{matrix} (4) & \tilde{p} - \tilde{q} + \tilde{r} = 2 - 2 g \end{matrix}

が成り立つ。

この結果を，球から

g

個の三角柱を除いた場合に示すことは容易である。しかし

g

個の穴のあいた浮輪の, “どんな三角形分割に対しても”この結果が成り立つことを示すにはもら少し細かい議論が必要となってくるだろら．私たちは(4)もまたオイラーの公式として引用することにしょう。

三角形を貼り合わせる一一閉曲面

ところでこのように進んでくると，多面体とか，穴がいくつもあいた浮輪などという具体的な形より，曲面は三角形を貼り合わせて生まれてくるといら見方が自然かもしれないと思われてくる。三角形といってもこれは伸縮自在の三角形である。柔らかな曲面をつくっている素材は，この伸縮自在の三角形であるといってもよいだろら. まったく勝手に三角形を曲面に貼り合わせていったとしても，柔らかな曲面の固有な性質としての穴の数

g

が，そこから浮かび上がってくることをオイラーの公式は示している.

そこでこの立場に立って，曲面を三角形を貼り合わせたものとして定義することを考えてみよう，すなわち，有限個の三角形

\begin{matrix} (5) & △_{1}, △_{2}, \dots, △_{s} \end{matrix}

をとって，これらを貼り合わせることにより得られたもの，

S = △_{1} \cup △_{2} \cup \dots \cup △_{s}

を曲面としてここでの対象としてみたいのである。もちろんここで，貼り合わせの条件がいる。

まず前に述べた

(A)

を条件としておく:

i \neq j

のとき，

△_{i} \cap △_{j} = \emptyset

か，

△_{i}

と

△_{j}

は 1 頂点または 1 辺だけを共有する.この条件は図で示してあるような三角形の貼り合わせ方は，曲面をつくるときには採用しないといっているのである.

辺を共有していない

重なっている

2 頂点だけを共有

このような貼り合わせも三角形分割として認めない

私たちはここで曲面といらときには，各点の近くでは 1 枚のゴム膜を引き伸ばしたよらなものであると考えている。そらなると図に示してあるような 3 つ以上の三角形が 1 つの辺を共有するよらな貼り方も採用できなくなる。それを条件として明記する。

（B）（5）に現われた三角形の辺は，隣接するただ 2 つの三角形の共有辺となっている.

なお，私たちは曲面には境界がない——赤道を境界とする半球面のよらなものは考光ない——しら条件もつけ加えておくことにしよう.

(C)（5）に現われた三角形のどの辺も，必ずほかのある三角形と辺を共有している。

すなわち，たとえば

△_{1}

の 3 辺は必ずほかの三角形の辺と貼り合わされているのである。あるいはどの三角形をとっても，その各辺には“糊しろ”がつけられているといった方がわかりやすいかもしれない，条件

(C)

をくことを，考えている曲面は閉じている，あるいは閉曲面であるといい表わすことがある。

このように三角形を貼り合わせたものとして曲面を定義してみると，こんどは 2 つ曲面

S

と

T

は，どんなときに同じものと考之られるのだろらかといらことが問題となってくる．私たちは三角形を伸縮して貼ったものも，あるいは直観的にいえば，でき上がったものを歪めたり，大きく引き伸ばしてあちこちに凹凸をつけてみても，これらはすべて同じもの一柔らかな曲面—を表わしているという立場に立とうとしているのである。そのことは次のような定
義を打いて，2つの曲面

S

と

T

を“同一視する” 視点を定めることになる。

定義

S

から

T

の上への 1 対 1 の写像

Φ

があって,

Φ

が連続のとき，

S

と

T

は同相な曲面という．私たちのいまの立場では，同相な 2 の曲面は同じものと考える。

Φ

の連続性についてひとこと述べておくと，いま

S

の点

P

が

Φ

によって

T

の点

Q

に移ったとする:

Φ (P) = Q

. このとき

P

のまわりはいくつかの三角形でおおわれており，それは(ゴム膜を伸ばしたと思えば)平面の一部分と考えてよい。このように考えたとき

Φ

は各点のまわりで平面の一部分から一部分への写像として連続となっているというのである。なお，

S

と

T

が同相のときには，(いまは閉曲面としているので)逆写像

Φ^{- 1}

もた連続となる。

ドーナツ面, クラインの壼, 射影平面

さて, (A), (B), (C)の指示にしたがって, 三角形を貼り合わせて曲面

S

をつろらとするとき，私たちがふつら行なっていることは，三角形を平面上に次々と貼り合わせていって，最後に得られた多角形の辺を，適当に対として取り出しそれを貼って

S

をつくる作業を完成させるということである。たとえば正 6 面体をつくるとき，図に示したよらに展開図(これは三角形を貼って得られたものとみることができる)を書いて，それを適当な辺どうしで貼り合

(a)

(b)

（a）の展開図を貼り合わせ，正 6 面体をつくり球に内接させて, 球の中心から球面へ射影すると, 球面の三角形分割が得られる。

わせてつくる. でき上がった正 6 面体は三角形分割されているが，この正 6 面体を球に内接させて球の中心から球面上へ射影すれば，この三角形分割は同時に, 球面の三角形分割を与えていることになる.

このような立場では, ドーナッ面は図で示したよらに長方形をまず対辺

AB

と

CD

を矢印の向きに貼り合わせ，次にこの段階で円周となった対辺

AC, BD

を矢印の向きに貼り合わせて得られる.

このとき長方形

ABDC

を図のように三角形分割しておくと，これはドーナツ面の三角形分割を与えたことになっている。

p^{'} = 9, q^{'} = 27, r^{'} = 18

ドーナッ面上で異なる

頂点となるものに○をつけてある。

念のためこのときの三角形の頂点の数

p^{'}

, 辺の数

q^{'}

, 三角形の総数

r^{'}

数えてみると

p^{'} = 9, q^{'} = 27, r^{'} = 18

となっており，この場合にもドーナッ面に対するオイラーの公式

\begin{matrix} (6) & p^{'} - q^{'} + r^{'} = 0 \end{matrix}

が成り立つことが確かめられる.

しかし, ドーナッ面をこのよらに長方形 ABDC の貼り合わせでつくってみると, こんどは誰でも対辺

AC

と

BD

の向きを変えて貼り合わせたらどらなるだろらかと考えてみたくなる。実際このように貼ってみても，三角形を貼るときに課した条件

(A), (B), (C)

はみたされているから，1つの曲面が得られるはずである。

p^{'}, q^{'}, r^{'}

はドーナッ面のときと同じである。したがってこのようにしてつくった曲面に対しては，（6）と同じ形でオイラーの公式が成り立っている。しかしこの曲面は，も 53 次元の空間の中ではふつらの曲面としては実現できない。 3 次元の空間の中でこの貼り合わせを行なおらとすると，どらしても交わってしまらのである。この曲面をクラインの壹といら。これについては月曜日 “お茶の時間”で述べてあるが，三角形分割の図とあわせて，もら一度ここに図示しておこ 5 .

長方形

ABDC

で，対辺

AC

と

BD

を向きを変えて貼るだけでなく,もら一方の対辺

AB

と

CD

の向きも変えて貼ると射影平面とよばれる曲面が得られる。

なおこの図で，長方形をふくらまして円に変形してみると，次のことがわかる. 射影平面とは，1つの円において，円周上で中心に関して点対称の 2 点を，すべて同一視して得られる曲面であると考えられるのである(134 頁参照).

この曲面は 3 次元の空間の中でどのよらに具象化して考えてよいのかわからない。その意味ではクラインの當よりもはるかに想像しにくい曲面である。なお射影平面の 1 つの三角形分割を示しておいた.この三角形分割の頂点, 辺, 面の数

p^{''}, q^{''}, r^{''}

はそれぞれ

p^{''}

= 6, q^{''} = 15, r^{''} = 10

となっている. このとき

\begin{matrix} (7) & p^{''} - q^{''} + r^{''} = 1 \end{matrix}

となる.

射影平面の三角形分割

向きづけ可能と向きづけ不可能

（4）と（7)を見くらべてみると，（4）の右辺はいりも偶数となっているのに，（7)の右辺は奇数である。このことは, 射影平面は決して球面に穴をあけて得られる曲面とは同相にならないことを示している。実際は，クラインの壹も，球に穴をあけた曲面とは同相にならない.

曲面には, 球に穴をあけたよらな曲面と, クラインの壼や射影平面とを区別する，大きな区別の仕方がある。それは“向きづけ可能”と，“向きづけ可能でない”といら区別の仕方である. このことを説明してみよう。

まず三角形

ABC

に向きを与えるとは, 辺を 1 周する 2 つ向き

(A \to B \to C

と回るか,

A \to C \to B

と回るか

)

のいずれか 1 つの向きを正，残りの向きを負と決めることである．ふつらは三角形の向きは時計の針と反対方向に回る向きを正の向きとするが，この三角形を書いた紙の裏からみれば，この回り方は時計の針と同じ向きになっている。表から見るのと裏から見るのとで，向きが逆になるという

ことは，向きのつけ方に絶対的な決め万などないということである.

向きづけ可能な曲面とは次のような曲面である。三角形分割したとき，その中の 1 つの三角形に正の向きにまわる回り方を決め，次に隣接した三角形にはこの向きに合わせるよらに正の向きを与えていく(図参照).

この操作を次々と三角形に行なって正の向きを決めたとき，どの三角形にもただ 1 通りに正の向きが決まるとき，向きづけ可能といらのである。向きづけ可能な曲面に対しては, 三角形の周に沿って 1 周するとき, 正の向きに 1 周するか, 負の向きに 1 周するかが決まることになる．球面やドーナツ面などは向きづけ可能である。

しかしクラインの壼や射影平面は向きづ可能でない。そのことは，上の図で示してあるそれぞれの三角形分割に向きを与えよらとしても，対辺を逆向きに貼ったために向きが一定しないことから確かめられる。

なお，1つの曲面が向きづけ可能か，向きづけ可能でないかは，三角形分割のとり方によらないで曲面の性質として決まった性質である.

連結和

日常見なれている球や浮輪のようなものだけではなくて, クラインの壼や，射影平面などが曲面の中に登場してくると，何かもっと不思議な魔法の营のようなものも曲面として登場してくるのではないかと想像されてくる，そのため，同相といら視点に立ったとき，どんな曲面があるのかをはっきりさせて扎いた方がよい。それを曲
面の分類問題というのだが，その結果を述べる前に連結和といら概念を導入しておいた方がよいよらである。まずそのことから説明することにしょう。

ドーナッ面を 2 とり，それを

T_{1}, T_{2}

とする。私たちは

T_{1}

と

T_{2}

の連結和

T_{1} # T_{2}

を定義したい。そのため

T_{1}, T_{2}

からそれぞれ適当な円板

D_{1}, D_{2}

をとり, 次に

T_{1}, T_{2}

からこれらの円板の内部

{\overset{\circ}{D}}_{1}, {\overset{\circ}{D}}_{2}

を取り除く. したがってドーナッ面

T_{1}, T_{2}

に 2 の風穴があいたようになる。次に

D_{1}, D_{2}

の境界となっている円周

C_{1}, C_{2}

の向きを逆にとって（一方が時計の針の進む向きなら，他方は逆の向きにとって)，連続的に 1 対 1 に対応するような対応を決め，この対応にしたがって

C_{1}

と

C_{2}

を貼りつける。このようにして得られた曲面を，

T_{1}

と

T_{2}

の連結和といい,

T_{1} # T_{2}

と表わす.

T_{1}

T_{2}

T_{1} # T_{2}

要するに，2つのドーナッ面

T_{1}, T_{2}

に風穴をあけて，その風穴に沿って貼り合わせて

T_{1}

と

T_{2}

をつないで, 同時に風穴を閉じてしまらといらことをしたのである。でき上がったものは図を見てもわかるよ5に 2 つ穴の浮輪である。もちろんこのよらな図を自由に描いている背景には，私たちが考えているのは硬い曲面ではなく，柔らかい曲面を同相の立場で見ているといらことがある.

この連結和の操作を, “展開図”を用いて表わそうとすると次頁に示した図のよらになる。

この図で(i)から (ii)へ移るところは円周

C_{1}, C_{2}

を切り開いて線分としているが，これはあくまで “展開図”であって，最終的には (ii) の線分

C_{1}, C_{2}

の端点は貼り合わされる. (i)と (ii)はそのよらに見れば同相な図形を表わしていることは納得してもらえるだろら。

（ii）は展開図といっても，対辺の長さが違らから，貼り合わすとい

(i)

)

(iii)

っても現実にはそんな上手に貼れないので，1つのモデルと考兄た方がよい. (ii)から(iii)への移行で，

C_{1}

と

C_{2}

は貼り合わされ, 8 角形が得られたが，同じ記号で表わされた辺を矢印の向きに同一視し，さらに線分

C

の端点を同一視すると，この 8 つの頂点はすべて 1 点に集められることになる。この(iii)が三角形を貼るといら立場と，同相といら立場に立ったときの, 連結和

T_{1} # T_{2}

を表わす一種の展開図と考之られる。

閉曲面の分類定理

g

個のドーナツ面

T_{1}, T_{2}, \dots, T_{g}

があったとき, 次々と連結和をとっていくことにより, 曲面

( I )

T_{1} # T_{2} # \dots # T_{g}

を考えることができる．この曲面は

g

個の穴のあいた浮輪として実現されている曲面である．実は向きづけ可能な曲面はすべてこのよらにして得られることが知られている。すなわち次の定理が成り立つ.

定理向きづけ可能な曲面は, 球面かまたは(Ｉ）の形で表わされる曲面に同相である。

このとき

g

を曲面の種数といら. 球面の種数は 0 と定義しておくのである。Kをクラインの壼，

P

を射影平面とする。これらに（Ｉ）のよらに表わされた曲面を，連結和によってつなげていくことができる．要するに円板を抜き取って円周に沿って貼り合わすのである。このよらにして実は向きづけできない曲面がすべて得られるのである。すなわち次の定理が成り立つ.

定理向きづけ不可能な曲面は, 次の（II）または（III）のいずれか 1 つの曲面と同相になる：

( II )

K # T_{1} # T_{2} # \dots # T_{g} (g ≧ 0)

( III )

P # T_{1} # T_{2} # \dots # T_{g} (g ≧ 0)

したがってこの 2 の定理によって, 曲面は同相の立場に立ってみる限り, 図で示したようなものしかないのである.

(I)

(II)

(III)

歴史の潮騒

ごく大ざっぱにいえば, 1 対 1 の連続写像で変わらない性質を調べる数学の分野をトポロジーといら.

トポロジーは 20 世紀になって急速に発展した数学の研究分野であって, 19 世紀まではこの研究分野を育てる学問の根はなお浅く細かったのである. 1679 年にライプニッツは『Characterstica Geometrica』といら本を出版したが，その中で(現代流にいえば)
形の中にひそんでいる距離に関する性質より，むしろトポロジー的な性質を調べることを試みようとした。ライプニッツはその中で “私たちは位置(situs)を定義するような純粋に幾何学的な何らかの解析を必要としている，その解析は，代数がちょうど量を定義するよらなものである”といっているそらである。これは私の勝手な推測にすぎないのだが，ライプニッツは形の中から何か記号化できるものを取り出し，その記号を通して形相に関する普遍的な性質を求めようとしていたのかもしれない. ライプニッッはこの研究の方向にホイヘンスの興味を誘おうとしたのだが，それは不成功に終った。

18 世紀になって，オイラーが多面体に対して

p - q + r = 2

といら公式を見出した。これはトポロジーの最初の定理として引用されることが多い，ところでオイラーはもら1つトポロジー的な考察を必要とするような問題に出くわした。ケーニヒスブルクの町には図のよらに川が流れ，ここに7つの橋が架かっていた。

ケーニヒスブルクの橋の問題を

調べるには，右のグラフが一筆

書きできるかどうかをみるとよい

この橋をただ 1 回きりしか渡らないで，すべての橋を渡ることができるかといらことは, 古来“ケーニヒスブルクの橋の問題”として有名であった。どの橋も通行料金をとっていたから，この問題は町の人たちにも関心が深かったのである.オイラーはこれが不可能であることを示し，さらに一般に，連結なグラフが一筆書きできるための必要十分条件を 1735 年に見出した。その条件は，グラフの交点に集まる道の数は，どの交点でもいつも偶数個になっているか，そらでないときには，2つの交点にだけ奇数個の道が集り，残りはすべて偶数個の道が集っている，といい表わされる。

昨日，リーマンのことを述べた際触れたよらに，トポロジーといら言葉は 1848 年のリスティングの本の題名としてはじめて現われた.トポロジーは“形相の学”を表わすためにギリシャ語のトポス (場所)とロゴス(学問)を合わせた造語といわれている。しかし 19 世紀を通してこのトポロジーといら言葉は, 数学の中に定着することはなかった. Analysis situs といら言葉が広く用いられていたのである。

トポロジーとよばれる研究分野が 1 つ学問として育っていくための基本的な方法を見出したのは, 1895 年にポカンカレによって発表された長編の論文『Analysis situs』によってである. ポアンカレは, トポロジー的な方法を微分方程式や力学系の問題, とくに三体問題に適用しょらと考えていた。ポアンカレは一般に

N

次元ユークリッド空間

R^{N}

の中にある，滑らかな高次元の曲面(現在で

C^{1}

-部分多様体とよばれる)の位相的な性質を取り扱らことを試み，そこにホモロジーという概念を導入した。その概念を通して代数的演算を導入する緒口をつかんだのである。やがて 20 世紀になって,抽象代数学の機運が高まってくると，ポアンカレの見出した代数的方法はトポロジーを展開する際のもっとも主要な方法となり, 代数的トポロジーとよばれる 1 つの分野を形成した。それは高次元の幾何学的対象から多くの位相不変量を取り出すことに著しい成功をおさめ, 20 世紀数学が達した 1 つの頂点を示すほどにもなったのである。

先生との対話

山田君がノートに書きらつした図を見ながらしばらく考えていたが，それから先生に質問した。

「2つ穴の浮輪の展開図—といっても糊しろをつけて貼り合わすわけにはいかないよらだけど——が， 128 頁の図のよらに書けたとすると, 3 つ穴の浮輪は

a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}

という記号と矢印で，こんなふらに表わすことになるのでしょらか.」

そらいって山田君は前に出てきて, 黒板に次のような図を書いた。

「そうです。ただしこれをそのまま貼り合わすわけにはいかないでしょ5. 内部の 12 角形が三角形分割されているとし, それらは伸縮自在なゴム膜からできていると思ったとき，ふちの部分をどのよらに貼り合わせるかを示している図と見て下さい。この図を記号で

a_{1} b_{1} a_{1}^{- 1} b_{1}^{- 1} a_{2} b_{2} a_{2}^{- 1} b_{2}^{- 1} a_{3} b_{3} a_{3}^{- 1} b_{3}^{- 1}

と表わします. 肩に -1 をつけたのは矢印の向きが逆のことを示しているのですね. 向きづけ可能な種数

g

の曲面は,

2 g

個の記号

a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots, a_{g}, b_{g}

を用意しておくと，同じような記号列

a_{1} b_{1} a_{1}^{- 1} b_{1}^{- 1} \dots a_{g} b_{g} a_{g}^{- 1} b_{g}^{- 1}

として表わすことができます.」

明子さんが

「向きづけができない曲面に対しても，似たよらな表わし方はあるのですか.」

と聞いた。

「向きづけができない曲面は，もともと 3 次元の中で実現できないものですから，こうした記号化も概念化してしまって，直観では捉えにくいものになります。たとえば明子さんは，

a a

は射影平面，

a a b b

はクラインの壹を表わしていることがわかりますか.」と先生が逆に明子さんに質問された。明子さんはノートに図を書いて考えていたが

「aaが射影平面を表わしていることは図のようにしてわかりますが, クラインの壼はこの表わし方では

a b a^{- 1} b

となるのではないでしょらか.」

と不審そらな顔で聞いた。

「そうですね．ふつらのクラインの冡の貼り方は

a b a^{- 1} b

と表わされるのですが，

a a b b

と表わすこともできるのです.ここでは

a a b b

から

a^{'} b^{'} a^{' - 1} b^{'}

と変形する切り貼りの仕方を書いてみましょう.」

そらいって先生はていねいに図を書かれたが，明子さんはこのとき先生が黒板の上で手品をしているような錯覚に一瞬襲われた。

a a b b

b^{'}

a^{'} b^{'} a^{' - 1} b^{'}

先生が言葉をついで

「向きづけ不可能な曲面の標準形は

\begin{matrix} (8) & a_{1} a_{1} a_{2} a_{2} \dots a_{q} a_{q} \end{matrix}

となります. 130 頁の定理との対応でいいますと,

K # T_{1} # \dots # T_{g}

と表わされるのは

q = 2 g + 2

のときで，

P # T_{1} # \dots # T_{g}

と表わされるのは

q = 2 g + 1

のときです. なお,

P # K

は

P # T_{1}

と同相になることが知られていますが，これについてはたとえば加藤十吉『位相幾何学』(裳華房)を参照してみて下さい.」

といわれた。小林君がノートを見ながら

「向きづけ可能な曲面のときには，オイラーの公式の一般の形がどんなものかはわかりましたが, 向きづけ不可能な曲面に対しても似たよらな公式はあるのでしょらか.」と質問した。

「向きづけ不可能な曲面は, 標準形(8)で表わされることがわかると，ここに現われている

q

を使って，この場合の“オイラーの公式”は

p - q + r = 2 - q

となります. クラインの壹のときは

q

は 2 で右辺は 0 となり, 射影平面のときは

q

は 1 で右辺は 1 となります。これは前に三角形分割を使って計算した値と一致していますね.」

皆は, クラインの冡の三角形の貼り方を手品のように変えた図が，まだ消されずに黒板に残っているのを見ているだけに，どんな三角形分割をとっても,

p - q + r

が一定だといらことに, 改めて不思議な感じを味わっていた。

默って皆の話を聞いていたかず子さんが，ふと思い出したよらに質問した。

「ポアンカレが代数的な方法を導入して, それ以来トポロジーといら研究分野が大きく発展するよらになったといらことですが, 代数的な方法とはどんなものなのですか.」

先生は少し小首を傾けるよらにして考えて打られたが，それから次のように話された。

「図形の中から代数的なものを取り出すのはポアンカレによって試みられたのですが，そこには単に幾何学的な直観だけではなくて，何か数学といら学問のもつ直視力とでもいらべきものが働いたようです。この直視力のよって立つ場所はそれほど明らかなものではありませんから, トポロジー, とくに代数的トポロジーを最初に学ぶときには，いまでも戸惑らことが多いょうです.

向きづけ可能な曲面

S

に対して，このポアンカレの考えの大体を説明してみましょう，Sを三角形分割して

\begin{array}{ll} {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{p}} & : 頂点の全体 \\ {λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{q}} & : 辺の全体 \\ {△_{1}, △_{2}, \dots, △_{r}} : 三角形の全体 \end{array}

とします.

△_{1}, △_{2}, \dots, △_{r}

には互いに整合している 1 つ向きを決めておきます。このとき，各辺にも自然に向きが決まります。この素材から，ポアンカレは大胆に次の 3 つの群をつくりました。

\begin{aligned} C^{0} (△) = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{p}} から生成された加群 \\ C^{1} (△) = {λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{q}} から生成された加群 \end{aligned}

C^{2} (△) = {△_{1}, △_{2}, \dots, △_{r}} から生成された加群

ここで加群と書いたのは, たとえば

C^{2} (△)

の元は 1 通りに

α = m_{1} △_{1} + m_{2} △_{2} + \dots + m_{r} △_{r} (m_{i} は整数)

と表わされるもので，

α

と

β = n_{1} △_{1} + \dots + n_{r} △_{r}

の加法は

α + β = (m_{1} + n_{1}) △_{1} + (m_{2} + n_{2}) △_{2} + \dots + (m_{r} + n_{r}) △_{r}

と定義されているものです。（なお

- △_{i}

は

△_{i}

の向きを負にしたものと考えることにします。)

次に境界作用素

\partial : C^{2} (△) \to C^{1} (△), \partial : C^{1} (△) \to C^{0} (△)

を, たと之ば図の三角形に対して

\begin{aligned} \partial ⟨ a_{1} a_{2} ⟩ = a_{2} - a_{1} \end{aligned}

のように定義します. 1 点

a

に対しては

\partial ⟨ a ⟩ = 0

とおきます.

そらした上で， 1 次元(辺)の場合でい光ば，

C^{1} (△)

の中で

\partial (m_{1} λ_{1} + \dots + m_{q} λ_{q}) = 0

をみたすものをサイクルといって，その全体

Z^{1} (△)

飞注目するのです.

Z^{1} (△)

もまた加群になります. しかし

Z^{1} (△)

の元が直接,図形の同相の考兄と結びつくわけではありません. さらに

α, β \in

Z^{1} (△)

のとき

α - β = \partial (l_{1} △_{1} + \dots + l_{q} △_{q})

と表わされるとき，

α

と

β

はじホモロジー類を定義するといって，このホモロジー類によって曲面の中にある “位相不変量”を取り出そらとしたのです。

かず子さんの質問に答えるために，少し詳しく話してしまいましたが，それでもこれだけの話では何のことかよくわからないでしょ 5.ここではどんな素材を使って代数的なトポロジーが構成されていくかといら感じだけでも知ってもらえばよいのです. も5少し勉強してみたい人は，たと觉ば田村一郎『トポロジー』(岩波書店)を見てみられるとょいでしょら.」

問題

[1] 長方形

{ABA}^{'} B^{'}

で対辺

AB

と

B^{'} A^{'}

の向きを逆にして貼り合わせて得られる帯をメービウスの帯といら．下の図を参考にして，クラインの壹

K

はメービウスの帯を 2 貼り合わせて得られることを示しなさい。

２］下の図を参考にして，射影平面

P

はメービウスの帯のふちに沿って円板を貼ることにより得られることを示しなさい。

円板

対辺の同一視で射影平面となる

[3]

P # P = K

を示しなさい.

お茶の時間

質問クラインの冡は 3 次元の空間の中で無理につくろらとするから交わってしまらので，4 次元の空間の中でつくればごく自然に
交わることなくつくれると聞いたことがありますが，これはどらいらことなのでしょらか.

答 4 次元の空間とい5のは, 数学的には 4 個の実数

(x_{1}, x_{2}, x_{3}

x_{4}

）を座標としてもつ点全体のつくる空間である. 4 次元の空間をここで

SF

的に空想してもはじまらないので

3 次元

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

4 次元

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

と対応させて考えることにしょう．そして 3 次元の中の 1 次元といらと曲線だから，それを 4 次元の中の 2 次元の曲面と対応させて考えることにする。

3 次元の中の 2 本の曲線が，たまたま

(x_{1}, x_{2}, 0)

で表わされる平面

R^{2}

上にあって，ある点

P

で交わっているとする． 2 本の道路が交わって，そこでいつも交通溙滞が起きる様子を想像してみることにしよう，交通渋滯をなくするには，一方の道路を高架にして，もら一方の道路をまたがせてしまらとよい。曲線でい㫕ば, 一方の曲線を点

P

の近くで

(x_{1}, x_{2}, x_{3}), x_{3} > 0

となるように少し “上の方へ” ずらせばよいのである.

クラインの壼でも同じように, 図のクラインの壼は

R^{4}

の中でとくに

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, 0)

で表わされる範囲で描かれていると考えるのである.

このときカゲをつけた部分を “高架”

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}), x_{4} > 0

, としてまたがせれば，クラインの壹の交わりは外されてしまらだろら。

射影平面も 4 次元の中では交わりのない形で表わすことができるのだが，これはクラインの壼のときと違ってあまり簡単に説明することはできない.

土曜日

多様な姿を支える場

先生の話

今週は曲面の研究の流扎追って話をしてきました. その流れには2つあって，1つはオイラー, モンジュ, ガウス, リーマンへと移行しながら微分幾何学へとつながる道であり,もら1つはオイラ一からポアンカレを経て, 20 世紀になって抽象代数学の方法を積極的に取り入れることによってトポロジーへと発展していく道です. この 2 つは同じ曲面といら源から発してきたとは思えないほど，その研究のテーマも, また方法も, まったく異なる万向へ向けて独自な道を進むことになり，1930 年代までにはそれぞれが数学の中で大きな専門分野をつくるにいたりました。この立脚点の違いは, リ一マンが目指し, またポアンカレが最初から Analysis situs の研究対象とした高次元の空間へと理論が展開するにつれ, ある意味ではますます顕著なものになったといってもよかったのです.

しかし微分幾何学もトポロジーも, その源はともに曲面といら共通の基盤の上にありました。テーマや方法の違いはあったとしても，直観を支えているこの共通の基盤が変わるといらことはなかったのです. 理論が進めばそれぞれの専門分野内部の分化は進みますが，それと同時に必然的に総合的な視点も求められるようになってきます.この総合的な視点は 2 次元の曲面を直観の拠り所としながら，すでに高次元の世界を数学の対象として取りこんでいました。それはリーマンによって予言されていた道でした。やがて微分幾何学もトポロジーもともに包括するような総合的な場が数学の中で育ってきました。それは多様体の誕生を意味します。

多様体とは, ひとことでいえば高次元の曲面なのです。多様体は高次元のもつ抽象性を深く内蔵し, その抽象性が数学の自由な働きを助けます. 多様体は 20 世紀後半になって, 数学全体を支えているといってよいほど大きな広がりをもつ場となってきましたが，そこでは幾何学的な直観が高度に抽象化された概念と結びついて, 豊饒な数学的世界を現出しているのです.

しかしこう話してみても，皆さんは何か霧の彼方にある山を指し示されている上らで，はっきりしない感じをもたれるでしょら．多様体について本当に理解するためには, 現代数学そのものを理解することが必要になってきます。だが，それはこの物語の枓をはるかにこえたものになってしまいます。今日は 6 週間にわたる物語の終章として, 曲面概念の拡張といら視点から, 多様体についてその概念をごく簡単に述べてみることにしましょう，それが現代数学への接点になればよいがと思っています。

曲面上の局所座標系

いままで話してきた曲面概念の中から，多様体の概念が生まれてくる過程を追らために, まず曲面の表示についての月曜日の話を思い出すところからはじめよう。

3 次元空間

R^{3}

の中にある曲面

S

を考兑ることにする.

S

は十分小さい範囲に限ってみれば，平面の一部分を切り取って曲げたようなものだから，そのことを月曜日， 17 頁では局所座標の定義として採用したのである。それを再記すると次のようになる。

u v

-座標平面の領域

D

から,

S

のある範囲

V

の上への 1 対 1 の連続写像

φ

が与立られたとき,

{(u, v), φ}

を

V

上の局所座標とい 5.

V

の点

P

亿対し,

φ (u, v) = P

となっているとき,

(u, v)

を

P

の局所座標という.

このとき,

R^{3}

の座標

(x, y, z)

を用いて

V

の点を表わしておくと

x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v)

と表わされ,

x, y, z

は

u, v

の連続関数となっている.

曲面

S

の各点のまわりは，このように局所座標によって表わされているが，私たちは各点のまわりから，S 全体へと視線を移して，

S

がこのよらないくつかの局所座標で完全に“おおわわれている” 状況を把握しておきたい。

そのため説明のしやすさといらこともあって, 局所座標を次のよらに選ぶことにして抽こう，

u v

-座標平面の単位円の内部を

D

, 原
点中心，半径 2 の円の内部を

\tilde{D}

とする. すなわち

D = {(u, v) ∣ u^{2} + v^{2} < 1}, \tilde{D} = {(u, v) ∣ u^{2} + v^{2} < 4}

とする、

\tilde{D}

から

S

の中への 1 対 1 連続写像

\tilde{φ}

があったとき，私たちはこの

\tilde{φ}

D の上だけで考えることにして，

φ (D) = V

とおき，この

φ

を局所座標写像，

V

を局所)座標近傍という．(この上うに

φ

を，

\tilde{D}

上で定義されている写像

\tilde{φ} て ゙

包んでおいた方がよいのは，こらしておくと

D

の境界のあたりの対応に不安がないからである.)

曲面といらとクラインの营や射影平面のようなものもあるけれど，これからはわかりやすくするため曲面

S

は

R^{3}

の中の有界な閉集合となっているときを考光ることにする。（すなわち，Sの点はすべ

τ R^{3}

の原点から一定の距離以内にあって,

S

の点列

{P_{n}}

が

n \to

\infty

のとき 1 点

P

に収束するならば，

P \in S

となっている.）このとき

S

は，有限個の局所座標近傍によって

S = V_{1} \cup V_{2} \cup V_{3} \cup \dots \cup V_{λ}

とおおわれる。この右辺が与兄る局所座標の全体を

S

の局所座標系といら。

いまここで一般的な立場でよく用いられる次のような記法を導入しておこう：

V_{α}

上の局所座標を

(u, v)

と書くかわりに

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

と書く.

そうすると

V_{α}

の点は座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

によって, また

V_{β}

の点は座標

(x_{β}^{1}, x_{β}^{2})

によって記述されることになる。曲面

S

は

V_{1}, V_{2}, \dots, V_{λ}

といら入個の日傘でおおわれているよらなものである。日傘は互いに重なり合っているが，1つの日傘

V_{α}

におおわれた部分には， 1 つの座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

が導入されているのである.

局所座標近傍でおおわれている様子

いま 2 つ座標近傍

V_{α}, V_{β}

が交わっているとする. このとき

P \in

V_{α} \cap V_{β}

に対し，

P

は

V_{α}

の点と考えれば

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

と表わされ，

V_{β}

の点と考光はば

(x_{β}^{1}, x_{β}^{2})

と表わされる. したがってここに局所座標の変換を表わす関係

\begin{matrix} (1) & x_{β}^{1} = x_{β}^{1} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}), x_{β}^{2} = x_{β}^{2} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}) \end{matrix}

が生じてくる.

中この式は

V_{α} \cap V_{β}

上で,

x_{β}^{1}, x_{β}^{2}

はそれぞれ

x_{α}^{1}, x_{α}^{2}

の関数として表わされていることを書いたものであるが，記号になれないとわかりにくいかもしれない. 例で説明しておこう. 球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

で

z > 0

の範囲(北半球)は局所座標として

(x, y)

をることができ, そこで球面は

z =

\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

と表わされる. 北半球を

V_{α}

と書き

x_{α}^{1} = x, x_{α}^{2} = y

と書くといまの記法にしたがったことになる。また東半球

y > 0

を

V_{β}

とし，ここで局所座標を

x_{β}^{1} = x, x_{β}^{2} = z

と書くと, ここで球面は

y = \sqrt{1 - x^{2} - z^{2}}

と表わされる。

V_{α} \cap V_{β}

における局所座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

から

(x_{β}^{1}, x_{β}^{2})

への変換は

\begin{aligned} x_{β}^{1} = x_{α}^{1} \\ x_{β}^{2} = \sqrt{1 - {(x_{α}^{1})}^{2} - {(x_{α}^{2})}^{2}} \end{aligned}

と表わされる。

定義 (1)を,

V_{α} \cap V_{β}

上で定義された,

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

から

(x_{β}^{1}

x_{β}^{2})

への局所座標の変換則という.

(1)の右辺は

x_{α}^{1}, x_{α}^{2}

について連続な関数である. 同じょうに,

V_{α} \cap V_{β}

上で

(x_{β}^{1}, x_{β}^{2})

から

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2})

への局所座標の変換則

x_{α}^{1} =

x_{α}^{1} (x_{β}^{1}, x_{β}^{2}), x_{α}^{2} = x_{α}^{2} (x_{β}^{1}, x_{β}^{2})

を考えることができる.

のすぐ上に述べた例では

\begin{aligned} x_{α}^{1} & = x_{β}^{1} \\ x_{α}^{2} & = \sqrt{1 - {(x_{β}^{1})}^{2} - {(x_{β}^{2})}^{2}} \end{aligned}

となっている.

位相多様体

曲面をこのように局所座標近傍を，局所座標の変換則を用いて貼り合わせたものとみると多少話が形式的な方向に向いてくるが，そのかわり空間的イメージを求めるといらような感じがあまりなくなってくる．ここで変数の個数を増やしさえすれば，高次元における曲面の拡張が得られるに違いない. それがこれから述べようとする位相多様体の定義の意味である。話はこの段階で抽象性を帯びてくる.

いま

N

次元ユークリッド空間

R^{N}

考える.

R^{N}

は

(x_{1}, x_{2}, \dots

，

x_{N})

といら

N

個の実数の組全体のつくる集合

x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N})

と

y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N})

の距離を

\sqrt{{(x_{1} - y_{1})}^{2} + \dots + {(x_{N} - y_{N})}^{2}}

で与えたものである.

定義

M

を

R^{N}

の有界な閉集合とする。自然数

n (< N)

を適当にとると，

M

の各点のまわりに，

R^{n}

の開集合と 1 対 1 に連続に対応する範曲があるとき，

M

を

n

次元の位相多様体という.

M

を

n

次元の位相多様体とする. このとき

M

は各点のまわりで局所座標近傍をもつが，

M

は有限個のこのような座標近傍でおおらことができる。それは

M

が

R^{N}

の有界な閉集合と仮定していたからである。曲面のときと同じように，この座標近傍は次のようにとっておいた方がつごらがよい。

いま

R^{n}

の単位球の内部を

D^{n}

，原点中心，半径 2 の球の内部を

{\tilde{D}}^{n}

とする：

\begin{aligned} D^{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) ∣ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} < 1} \\ {\tilde{D}}^{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) ∣ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} < 4} \end{aligned}

このとき,

{\tilde{D}}^{n}

から

M

の中への 1 対 1 連続写像

\tilde{φ} を, D^{n}

上に限って考えたものを

φ

とする。このとき

φ (D^{n}) = V

を，

M

の(局所)座標近傍という.

P \in V

に対しては,

D^{n}

の点

(x_{1}

x_{2}, \dots, x_{n})

で

φ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = P

をみたすものがただ 1 つ存在している。この

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

を

P

を表わす

V

上の局所座標として採用するのだが，記号を区別するために添数

1, 2, \dots, n

を上につけて, このとき

P

の局所座標は

(x^{1}

x^{2}, \dots, x^{n})

であるといらことにしょう.

M

は有限個のこのような局所座標でおおらことができる：

\begin{matrix} (2) & M = V_{1} \cup V_{2} \cup \dots \cup V_{λ} \end{matrix}

V_{α}

上の局所座標を，これも曲面のときと同じょうに

α

を下添数としてつけて

\begin{matrix} (3) & (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n}) \end{matrix}

と表わし，どこで考えているかをはっきりさせることにしよう。

V_{α} \cap V_{β} \neq \emptyset

のときには,

V_{α} \cap V_{β}

上で

α

座標から

β

座標への局所座標の変換則

\begin{matrix} x_{β}^{1} = x_{β}^{1} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n}) \\ \dots \dots \dots \\ x_{β}^{n} = x_{β}^{n} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n}) \end{matrix}

が成り立っている。これらは

x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n}

の連続関数となっている. おのおのの座標近傍

V_{α}

上に局所座標 (3) が与えられているとき，(2)を

M

の局所座標系といら。

滑らかな多様体

位相多様体の定義は, 曲面の中から局所座標といら考之を抽出してきて，眼を高次元へと向けるとごく自然に生まれてくるものだが，この概念の中にはたと光ば

R^{1000}

の中の 382 次元の位相多様体などといらものも含まれてくるようになって, 何か范漠とした世界へと誘われていくようなものがある。位相多様体の定義の形は具象的なものを指し示しているようであるが，含まれている内容は抽象的なものである。さらに 1 対 1 の連続写像といら概念が捉兄どころがない. 連続性の概念は, 積分のような総合的な視点へと移行していくときにはごく自然なものとなってくるのだが(第 3 週参照), 各点のまわりの幾何学的な性質を調べようとするときには, 一般的には粗寸ぎるのである．1 次元の連続曲線でも尖点がでたり，鋭い波が繰り返し無限に波打って 1 点に近づいていくような状況が扣きるが，このよらな状況は高次元では複合されてさらに複雑になっているに違いない、それを確実に捉之，記述する手段はほとんどないといってよいのである.

そのため私たちは

C^{\infty}

-級の正則な曲面の概念を一般化することを考完てみよう，正則な曲面は私たちがふだん見なれている曲面であるし，また水曜日，木曜日とみてきたよらに，そこにはいろいろな解析的な方法を導入して調べていくことができる。したがってこれは今の段階ではあくまで予想にすぎないけれど，正則な曲面の高
次元への一般化は解析を通して豊かな数学の宝庫となって, 位相多様体のもつ空漠とした感じを取り除いてくれるに違いない。

そのためまず

n

次元の位相多様体

M

を考え，

M

の局所座標系を

{\begin{cases} M = V_{1} \cup V_{2} \cup \dots \cup V_{λ} \\ 局所座標写像 φ_{α} : D \to V_{α} \end{cases}

とする.この

V_{α}

上の局所座標を与える写像を前のよらに

D ∋ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \overset{φ_{α}}{\to} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n}) \in V_{α}

と表わす.

V_{α} \subset M

は

R^{N}

に含まれている集合なのだから，

R^{N}

の座標を区別するために大文字で

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}

と表わすことにすると，

φ_{α}

は

D

から

R^{N}

の写像と考えて

X_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), X_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), \dots, X_{N} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

と表わされる。この

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

に関する

N

個の関数が

C^{\infty}

-級の関数のとき，

φ_{α}

を滑らかな局所座標写像といら.

』これから

n

変数の関数のことを少し述べるが，これになれない読者は 2 変数関数からの類似で大体の感じをつかんでいただきたい.

さて, 水曜日に与えた曲面の正則性の条件は, 局所座標を与えるパラメータ

u, v

の走る

u

曲線,

v

曲線の接ベクトルが各点で 1 次独立であるといらことであった。対応する条件を述べよらとすると次のようになるだろら。

いま

V_{α}

上の 1 点

P = (a_{α}^{1}, a_{α}^{2}, \dots, a_{α}^{n})

を考える.このとき

R^{N}

の中の

n

個のべクトル

\begin{matrix} e_{α}^{1} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{1}} (P), \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{α}^{1}} (P), \dots, \frac{\partial X_{N}}{\partial x_{α}^{1}} (P)) \\ e_{α}^{2} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{2}} (P), \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{α}^{2}} (P), \dots, \frac{\partial X_{N}}{\partial x_{α}^{2}} (P)) \\ \dots \dots \dots \\ e_{α}^{n} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{n}} (P), \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{α}^{n}} (P), \dots, \frac{\partial X_{N}}{\partial x_{α}^{n}} (P)) \end{matrix}

は, それぞれ

x_{α}^{1}

-曲線,

x_{α}^{2}

-曲線,

, \dots, x_{α}^{n}

-曲線の点

P

におけ接ベクトルとなっている。この

e_{α}^{1}, e_{α}^{2}, \dots, e_{α}^{n}

が各点

P

で 1 次独立となっているといら条件が，曲面の正則性に対応する条件である。そこで次の定義をおく。

定義

n

次元の位相多様体

M

の局所座標写像が滑らかで，各

V_{α}

上の各点で

e_{α}^{1}, e_{α}^{2}, \dots, e_{α}^{n}

がつねに 1 次独立のとき,

M

を滑らかな多様体といら。

したがって

n

次元の滑らかな多様体とは,

R^{N}

の “

n

次元曲面” で，各点で

n

個の独立な接線方向に “方向指示”を与えるべクトル

(e_{α}^{1}, e_{α}^{2}, \dots, e_{α}^{n})

が存在しているようなものである.

接ベクトル

n

次元の滑らかな多様体

M

上には, 各点

P

で “方向指示”

(e_{α}^{1}

e_{α}^{2}, \dots, e_{α}^{n})

があるといら状況は大体納得していただけると思うが，

P \in V_{α} \cap V_{β}

のとき,

V_{β}

上の局所座標方向の接線が示す “方向指示”

(e_{β}^{1}, e_{β}^{2}

\dots, e_{β}^{n})

は, 当然

V_{α}

上で考えた

(e_{α}^{1}, e_{α}^{2}, \dots, e_{α}^{n})

と別の方向を指し示しているだろう， 1 点

P

に护けるこ 2 つの

n

個のベクトル

\begin{matrix} (4) & (e_{α}^{1}, e_{α}^{2}, \dots, e_{α}^{n}), (e_{β}^{1}, e_{β}^{2}, \dots, e_{β}^{n}) \end{matrix}

の関係はどんな式で与えられているのだろらか.

一般の

n

次元で表わすと記号が複雑になってわかりにくいかもしれないので，

M

が

R^{3}

の中の正則曲面(2次元！)の場合にこの記
号にしたがって表わして，2つのベクトルの組(4)の関係を調べてみよう。このときは

\begin{matrix} (5) & e_{α}^{1} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{1}}, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{α}^{1}}, \frac{\partial X_{3}}{\partial x_{α}^{1}}), e_{α}^{2} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{2}}, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{α}^{2}}, \frac{\partial X_{3}}{\partial x_{α}^{2}}) \end{matrix}

と

\begin{matrix} (5) & e_{β}^{1} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{β}^{1}}, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{β}^{1}}, \frac{\partial X_{3}}{\partial x_{β}^{1}}), e_{β}^{2} = (\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{β}^{2}}, \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{β}^{2}}, \frac{\partial X_{3}}{\partial x_{β}^{2}}) \end{matrix}

を考えることになる.

x_{β}^{i} = x_{β}^{i} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}) (i = 1, 2)

といら局所座標の変換則を使ってみると，たとえば

e_{β}^{1}

の第 1 成分

\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{β}^{1}}

は,

\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{β}^{1}} = \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{1}} \frac{\partial x_{α}^{1}}{\partial x_{β}^{1}} + \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{2}} \frac{\partial x_{α}^{2}}{\partial x_{β}^{1}} = \sum_{j = 1}^{2} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{α}^{j}} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{1}}

となる。これと同様の式が，

X_{2}, X_{3}

を微分した式で成り立つので， (5)と

(5)^{'} を

使ってべクトル記号でまとめると

e_{β}^{1} = \sum_{j = 1}^{2} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{1}} e_{α}^{j}

と表わされることがわかる. 同様に

e_{β}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{2}} e_{α}^{j}

が成り立つ.

このことからの類推で，（4)の間に一般に座標変換によってひき起こされる関係式

\begin{matrix} (6) & e_{β}^{i} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{i}} e_{α}^{j} (i = 1, 2, \dots, n) \end{matrix}

が成り立つことがわかるだろら。

↔これに似たような変換式が微分幾何学の本(とくにテンソルを書いた部分)や多様体の本を見ると，たくさん出てきて辟易させるのである。この式は

J (x_{β} / x_{α}) = (\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_{β}^{1}}{\partial x_{α}^{1}} & \dots & \frac{\partial x_{β}^{1}}{\partial x_{α}^{n}} \\ \dots \\ \frac{\partial x_{β}^{n}}{\partial x_{α}^{1}} & \dots & \frac{\partial x_{β}^{n}}{\partial x_{α}^{n}} \end{array})

として

n

次の行列(ヤコビ行列！)を導入しておくと，

J {(x_{β} / x_{α})}^{- 1} = J (x_{α} / x_{β})

であって

(e_{β}^{1}, \dots, e_{β}^{n}) = (e_{α}^{1}, \dots, e_{α}^{n}) J {(x_{β} / x_{α})}^{- 1}

となってずいぶん見やすくなる. 線形代数の考え方が, 高次元では非常に有効に使われてくるのである。

点

P \in V_{α}

において,

n

個の 1 次独立なべクトル

{e_{α}^{1} (P), e_{α}^{2} (P)

\dots, e_{α}^{n} (P)}

によってただ 1 通りに表わされる

R^{N}

のベクトル

\begin{matrix} (7) & ξ_{α}^{1} e_{α}^{1} (P) + ξ_{α}^{2} e_{α}^{2} (P) + \dots + ξ_{α}^{n} e_{α}^{n} (P) \end{matrix}

を，点

P

における接ベクトルということにする。

いま点

P

が，

V_{α}

と

V_{β}

に共通に含まれているとき，

P

における

V_{β}

上の接ベクトル—それは

e_{β}^{i} (i = 1, 2, \dots, n)

の 1 次結合で表わされている一は，（6）を見ると，

e_{α}^{j} (j = 1, 2, \dots, n)

の 1 次結合として(7)の形に表わされることがわかる。この関係をみてみるため,

V_{β}

上の点

P

における接ベクトル

a = ξ_{β}^{1} e_{β}^{1} + ξ_{β}^{2} e_{β}^{2} + \dots + ξ_{β^{n}} e_{β}^{n} = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{β}^{i} e_{β}^{i}

に対し，(6)を用いると

a = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{β}^{i} e_{β}^{i} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{i}} ξ_{β}^{i} e_{α}^{j} = \sum_{j = 1}^{n} (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{i}}{\partial x_{β}^{j}} ξ_{β^{j}}) e_{α}^{i}

と表わされることがわかる。この右辺は(7)に等しいのだから，したがって接べクトルの成分は変換則

ξ_{α}^{i} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{i}}{\partial x_{β}^{j}} ξ_{β}^{j}

をみたしている。

局所座標による偏微分

このよらにして滑らかな多様体の概念を導入したが，ガウスからリーマンへの道が示すよらに，できれば “外の空間”

R^{N}

から

M

を独立に取り出して，

M

自身のもつ内部構造だけに注目したいのである．

M

が

R^{N}

の中どこに，どのよらにおかれていても

M

のもつ性質が変わるわけではないといら見方をもっと鮮明なものにしたいのである.

この方向に向かって進むために，

M

の性質を記述するのに

M

の局所座標を用いるという立場をとることにしょう。そこでまず

M

上の実数値連続関数

f (P)

が

C^{\infty}

級といらことを, 各

V_{α}

上で次のことが成り立つことであると定義しておこう：

P \in V_{α}

のとき，

P

を局所座標を用いて

P = (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

とすると

f (P) = f (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

は，

x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n}

の関数として

C^{\infty}

-級である. すなわち, すべての階数の偏導関数が存在して，それらがすべて連続である。

M

上の連続関数

f (P)

が

C^{\infty} -

級ならば, 各

V_{α}

上で局所座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

についての

n

個の偏導関数

\frac{\partial f}{\partial x_{α}^{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{2}}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{n}}

を考えることができる．したがってとくに

P \in V_{α} \cap V_{β}

のときには，私たちは点

P

で局所座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

に関するものと, 局所座標

(x_{β}^{1}, x_{β}^{2}, \dots, x_{β}^{n})

に関するものとの 2 つの偏導関数の値

\begin{matrix} (8) & - \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{1}} (P), \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{2}} (P), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{n}} (P) \end{matrix}

と

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial f}{\partial x_{β}^{1}} (P), \frac{\partial f}{\partial x_{β}^{2}} (P), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{β}^{n}} (P) \end{matrix}

をもつことになる。

このとき 8 と

(9)

の関係はどらなっているのだろらか. これは局所座標の変換則

x_{β}^{i} = x_{β}^{i} (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

と偏微分のルールからすぐに求められて，結果は

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial f}{\partial x_{β}^{i}} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{i}} \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{j}} \end{matrix}

となる.

すなわち, 関数

f (P)

に対して, 局所座標の重なり目では, 偏微分を計算するのにどちらの座標を使らかによって(8)と(9)が現われるが，それは(10)の関係によって結ばれている一貼り合わされている一のである！

1 つの転換

しかしここに注目すべき 1 つ事実が現われたのである。（10)を微分の働きだけに注意して

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial}{\partial x_{β}^{i}} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{i}} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{j}} \end{matrix}

と書き直してみよう，そらすると

(6)

と見くらべてみると，ここで記号の入れかえ

\frac{\partial}{\partial x_{α}^{j}} ⟶ e_{α}^{j}, \frac{\partial}{\partial x_{β}^{i}} ⟶ e_{β}^{i}

をしてみると，（11は(6)となっていることに気づくだろら．このことは,

P \in V_{α} \cap V_{β}

のとき,

V_{α}

上での微分の仕方と,

V_{β}

上での微分の仕方の間に成り立つ関係——貼り合わせ—は, 局所座標の接ベクトルの間に成り立つ関係と同じものになっているのである。簡単にいえば(6)と(11)で使われている“糊”は同じである.

ところが(6)と(11)で, “糊” の使われている場所は確かに違っているのである. (6)は

{e_{α}^{1}, \dots, e_{α}^{n}}

と

{e_{β}^{1}, \dots, e_{β}^{n}}

の貼り合わせであるが，これらのベクトルは

M

から

R^{N}

の中へ向いているベクトルであり，いわば

M

の“外なる世界”に関係している。一方，の方は “微分作用素”

{\frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}}

と

{\frac{\partial}{\partial x_{β}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{β}^{n}}}

の貼り
合わせであるが，ここでは

M

の上だけで定義された関数の微分だけが問題なのだから，いわば

M

の“内なる世界”だけに関係している.

ガウス, リーマンの思想を受継いで，私たちが微分幾何もトポロジーも同じ視野の中で見ることができるよらな場を求めるとしたら，それは

R^{N}

の中にあることによってその存在が確かめられるよらなものではなく, その場のもつ性質によって自立しているような場であることが望ましいだろう，

R^{N}

の中にある部分集合の中から，滑らかな局所座標系をもつものとして, 私たちは滑らかな多様体を抽出してきたが，その中からこんどは，内部構造

{\frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}}

と

{\frac{\partial}{\partial x_{β}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{β}^{n}}}

を貼り合わす糊が見出されたのである.このことは何か，それ自身ですでに十分自立している場を構成する手がかりを与えるものではないだろらか.

多様体の定義

このよらな考察の中から, 自立した 1 つ場が誕生してきた。それは単に幾何学的な場であったといらより, 実は現代数学の展開を表現するよらな場となったのである。それは多様体とよばれるものであった。

ここではいままでの話の筋にしたがいながら，ごく簡単に多様体 (正確にはコンパクトな滑らかな多様体)を導入する道順だけを記しておこう。この抽象的な設定の背後には，

R^{N}

の中にある滑らかな多様体が見え隠れしているのである。

多様体導入の手順を以下に列記しておく（細かい説明はできないので，感じだけでも捉えていただきたい).

（I）コンパクトなハウスドルフ空間 $X$

これは

R^{N}

の有界な閉集合を抽象化した概念である，Xは，集合にある近さの概念を入れたものであるが，

R^{N}

の有界な閉集合のもつ基本的な性質はほぼもっている。

（【）局所座標系

X

は

R^{n}

の単位円板の内部と同相な有限個の開集合

V_{1}, V_{2}, \dots

X = V_{1} \cup V_{2} \cup \dots \cup V_{λ}

このとき各

V_{α}

に属する点

P

は局所座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

によって表わされている.このとき

X

は

n

次元の位相多様体とい 5.

(四) 滑らかな構造

n

次元の位相多様体

X

の上で考えることにする.

V_{α} \cap V_{β} \neq \emptyset

とする．前のよらに

D

を

R^{n}

の単位円板の内部とすると，局所座標を与える 1 対 1 の連続写像

\begin{aligned} φ_{α} : D ⟶ V_{α} \\ φ_{β} : D ⟶ V_{β} \end{aligned}

が存在する.このとき

V_{α} \cap V_{β}

に移る

D

の点に注目することによつて,2つの写像 (同相写像!)

\begin{aligned} φ_{α}^{- 1} : V_{α} \cap V_{β} ⟶ φ_{α}^{- 1} (V_{α} \cap V_{β}) \subset D \\ φ_{β}^{- 1} : V_{α} \cap V_{β} ⟶ φ_{β}^{- 1} (V_{α} \cap V_{β}) \subset D \end{aligned}

が生まれてくる. このとき同じ点

P \in V_{α} \cap V_{β}

が，

φ_{α}^{- 1}

と

φ_{β}^{- 1}

によって

D

内のどんな違万点に移されているかを考えることによって，写像

\begin{aligned} φ_{β α} : φ_{α}^{- 1} (V_{α} \cap V_{β}) & ⟶ φ_{β}^{- 1} (V_{α} \cap V_{β}) \\ Ψ & Ψ \\ φ_{α}^{- 1} (P) & ⟶ φ_{β}^{- 1} (P) \end{aligned}

が得られる.

φ_{β α}

は

R^{n}

の開集合から開集合への写像だから，

R^{n}

の座標を使って

n

個の実数値関数として

y_{i} = φ_{β α}^{i} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) (i = 1, 2, \dots, n)

と表わされる.

私たちはこの

n

個の関数

φ_{β α}^{i} (i = 1, 2, \dots, n)

が

C^{\infty}

-級の関数であるといらことを要求しておくのである. この要求は簡単に

φ_{β α}

が

C^{\infty}

-級の写像であるといってもよいし, あるいは

φ_{β α}

という局所座標を貼る “糊” (糊は

D \subset R^{n}

の中で調合されているが)が，

C^{\infty}

-級の糊であるといってもよいのである。

そこで次の定義をおく

定義滑らかな構造をもつ位相多様体を滑らかな多様体，あるいは単に多様体という。

これから多様体を

M

で表わすことにしよう。

(IV)

C^{\infty}

-級の関数

多様体

M

上の連続関数

f (P)

が，各

V_{α}

上で局所座標を用いて

f (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

と表わしたとき, これが

n

変数の関数とみて

C^{\infty}

-級のとき,

f

を

M

上の

C^{\infty}

-級関数，または滑らかな関数といら，局所座標の貼り合わせの糊

φ_{β α}

を

C^{\infty}

-級にとっておいたから，1つの局所座標

(x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

で表わしたところ, ある関数が

C^{\infty}

-級になっていれば，同じ点のまわりを別の局所座標で表わしてみても，やはり

C^{\infty}

-級となっている。寸なわち,

C^{\infty}

-級といら関数の性質は, 局所座標のとり方によらない，

M

に固有な性質と考えられるのである.

n

次元の多様体

M

上の 1 つつの点

P

に,

n

次元のベクトル空間

T_{P} (M)

を与えて, これが抽象的な設定の中での

P

におる

M

の接空間と考えられるようにしたい。

そのため，まず最初に各点

P

に“抽象的な”

n

次元ベクトル空間

T_{P} (M)

を対応させておく. 直観的には各点

P

に抽象的なべクトル空間

T_{P} (M)

を接平面のように付着させたと考えておくとよい。このベクトル空間の基底ベクトル(座標軸!)のとり方を，Pを表わす局所座標のとり方に連動させることによって, 局所座標から浮かび上がってくる

P

のまわりの幾何的イメージを

T_{P} (M)

にも付与しょ万と考えるのである。そのため

P

が

V_{α}

に含まれていて,

P = (x_{α}^{1}

x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

と表わされているとき,

T_{P} (M)

の基底ベクトルとして “記号”

\frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}

で表わされたものをとることにする．そうするとこのとき，

n

次元ベクトル空間

T_{P} (M)

に属しているべクトル

ξ

は，ただ 1 通りに

\begin{matrix} (12) & ξ = ξ_{α}^{1} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}} + ξ_{α}^{2} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}} + \dots + ξ_{α}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}} \end{matrix}

と表わされることになる。

ξ

は点

P

における

M

の接ベクトルとよばれるものである.

もちろんこれだけでは単に記号の上だけのことであって，Mの構造と

T_{P} (M)

の構造は特別新しい関係を得たわけではない，Mの構造は, 局所座標の貼り合博方の中にあるといら観点に立って，この貼り合わせ方を

T_{P} (M)

の基底のとり方に反映させることにより，ベクトル空間

T_{P} (M)

を

M

の各点

P

に “密着させる”のである.

そのためいま

P \in V_{α} \cap V_{β}

とする.このとき上の約束にしたが立ば，

V_{α}, V_{β}

といら 2 つ局所座標に対応して

T_{P} (M)

は 2 つの基底ベクトル

\begin{matrix} (13) & \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}} & (P \in V_{α} と考えて) \\ \frac{\partial}{\partial x_{β}^{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{β}^{2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{β}^{n}} & (P \in V_{β} と考えて) \end{array} \end{matrix}

をもつ、したがってまたこの基底ベクトルの選び方にしたがって，どんな接ベクトル

ξ \in T_{P} (M)

も 2 通りの表わし方

\begin{aligned} ξ & = ξ_{α}^{1} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}} + ξ_{α}^{2} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}} + \dots + ξ_{α}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}} \\ = ξ_{β}^{1} \frac{\partial}{\partial x_{β}^{1}} + ξ_{β}^{2} \frac{\partial}{\partial x_{β}^{2}} + \dots + ξ_{β}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{β}^{n}} \end{aligned}

をもつことになる。

このとき私たちは, 基底べクトル（13)の間に基底変換の関係

\begin{matrix} (*) & \frac{\partial}{\partial x_{β}^{i}} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{α}^{j}}{\partial x_{β}^{i}} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{j}} \end{matrix}

が成り立っていると要請するのである. この要請によって,

V_{α}

上で基底

{\frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}}

にって具体的に表示されたべクトル空間と,

V_{β}

上で基底

{\frac{\partial}{\partial x_{β}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{β}^{n}}}

にって具体的に表示されたベクトル空間とが,

V_{α} \cap V_{β}

上で貼り合わされて,

M

上全体をおおらような 1 つ新しい空間が得られる。このよらにして各

T_{P} (M)

を貼り合わせて得られる空間

を，

M

の接空間という.

T (M) = \cup_{P \in M} T_{P} (M)

このよらな接ベクトルの一見, 抽象的な定義から, 接ベクトルが多様体

M

への“働き”としてどのよらにかかわっているのだろらかといらことは, 誰にとっても関心のあることである. それは(12)によって

ξ \in T_{P} (M)

が与えられたとき,

f \in C^{\infty} (M)

に対して,

f

の “

ξ

-方向”からの

P

の微分の値が

ξ (f) = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{α}^{i} \frac{\partial f}{\partial x_{α}^{i}} (P)

によって決められることによっている。もし

P \in V_{α} \cap V_{β}

のとき，

この右辺の表示を,

ξ

の

V_{β}

上の表示を用いて別に

\sum_{i = 1}^{n} ξ_{β}^{i} \frac{\partial f}{\partial x_{β}^{i}} (P)

と計算してみても，同じ値になっているということを保証することが, 実は(11)を参照してみると, 要請しておいた貼り合わせの条件（＊)にほかならないことがわかる。

すなわち, 接べクトルは

f \in C^{\infty} (M)

に対して, 微分として働い

て，局所座標を通して見る限り，それはある方向からの微分の値を与えているのである。基底べクトルとして記号

\frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}

を用いたのは，この含みがあったからである。この接べクトルの関数への働きを通して，多様体

M

上の幾何学的量が逆にしだいに構成されていく，たとえは少し適切でないかもしれないが，モンジュが曲面論を考察しているとき，

R^{3}

のもつ幾何学的性質がどのように曲面上に反映されてくるかを考えていたよらに，現代数学では多様体

M

のもつ幾何学的性質を，

C^{\infty} (M)

とその上に接ベクトルを通して働く微分を通して，どのように導いていくかを考えているともいえる。曲面論ははるかな高みへと上ったのである。

リーマン多様体

ここでリーマンの講師就任試験講演の中で述べた考えが，このよらな多様体の立場の中で，どのよらに現代数学に取り入れられたかについてひとこと述べて抗こら，多様体

M

が与えられたとき，各点

P

における接空間

T_{P} (M)

に内積を導入して，まずここからスタートする.

いま各点

P

に対し, 接べクトル空間

T_{P} (M)

に内積

(ξ, η)_{P}

が与えられているとする. 1 つ局所座標近傍

V_{α}

上に注目することにして,

V_{α}

上の各点

x = (x_{α}^{1}, x_{α}^{2}, \dots, x_{α}^{n})

で与えられた 2 つ接ベクトル

ξ, η

が

\begin{aligned} ξ (x) & = ξ_{α}^{1} (x) \frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}} + ξ_{α}^{2} (x) \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}} + \dots + ξ_{α}^{n} (x) \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}} \\ η (x) & = η_{α}^{1} (x) \frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}} + η_{α}^{2} (x) \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}} + \dots + η_{α}^{n} (x) \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}} \end{aligned}

と表わされ, 各係数

ξ_{α}^{i} (x), η_{α}^{i} (x) (i = 1, 2, \dots, n)

は

V_{α}

上

C^{\infty}

-級の関数とする. このとき各点

x \in V_{α}

における内積の値

\begin{matrix} (14) & (ξ (x), η (x))_{x} \end{matrix}

が

V_{α}

上

C^{\infty}

-級の関数となっているという“滑らかさ”の条件を課

しておく，各

T_{P} (M)

上で与えられた，この条件をみたす内積をリ一マン計量といい, リーマン計量が与えられた多様体をリーマン多様体といらのである。

いまリーマン計量が与えられているとき, 基底ベクトルの内積を

{(\frac{\partial}{\partial x_{α}^{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{j}})}_{x} = g_{i j}^{α} (x)

とおくことにすると，(14)は

(ξ (x), η (x))_{x} = \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j}^{α} (x) ξ_{α}^{i} η_{α}^{j}

と表わされることになる。

歴史の潮騒

こにに述べた

R^{N}

の中の “曲面”から離脱したまったく抽象的な立場に立つ多様体概念の導入は, 実は数学史的にはずっと遅れて, 1936 年のホイットニーの論文『微分可能多様体』によるのである. リーマンの講演から約 80 年後のことである. 1936 年といえばヒルベルト空間や位相群や抽象代数学が花盛りであり, 19 世紀数学はすでに遠いものとなっていた。ここにいたる歴史的な道のりは必ずしも明らかなものではないようである。

まずリーマン以後，リーマンの思想を受け継ぐ形での微分幾何学は, リッチ，レヴィ・チヴィタ等のイタリーの幾何学者たちによって, 絶対微分学といら思いもかけぬ方向へと進んだ. リッチの『絶対微分学の方法』と題する論文は 1901 年に発表された。絶対微分学では局所座標の変換則で不変であるような関係式を見出すことを主眼としており，そこではテンソルという言葉で書かれた不変式や微分方程式が研究のテーマとなって論じられるのである。それらは座標変換で不変な形をとっているから，得られた量はどの局所座標をとって表現しても同じ量を表わしていることになり，したがって多様体固有の量と考えられるものであったが，多様体の全体像を考察の対象におくということは決してなかったのである。議論はあく

まで局所的であった，混みいったテンンルを不変成分に分解するよらな複雑な, むしろ代数的な議論屯一時期盛んであったのである。 1932 年に書かれて当時評判だったアイゼンハルトの『変換の連続群』といら本を見ても，ベクトルやテンンルの変換則をみたすものが，考之ている対象となることは明示されているが，いまからい兑ば，その下に広がっているはずの幾何学的な場——多様体—

M

についてははっきりとは言及されていないのである。

代数幾何からも，方程式で定義される点の集りとして(たとえば円周が

x^{2} + y^{2} - 1 = 0

と表わされるよらに), 多くの多様体が研究されていたが，それは一般には複素数体上で考完られており，また一般に特異点をもっていたから，

R^{n}

の “曲面”といら見方で捉之られる機会は少なかったのだろら。

トポロジーも，三角形分割といら性質ととれを用いてホモロジ一論を展開するといら方法とに注目しながら, 高次元の多面体の概念を導入し，それを主要な研究対象としていったが，そこには微分幾何学と融和するような場所を見出すことはむずかしかったのである.

多様体の概念は抽象的なものであり，その抽象性によってむしろ現代数学の中へとごく自然に広がっていったとも考えられるものであるが，このような “抽象的な場” の広がりを数学的実在として認めることができるよらになるためには，長い時間をかけた数学的雾囲気の醸成が必要だったのである. 1910 年代から 1920 年代にかけて, 嵐の上らに通り抜けていった抽象数学へ向けてのダイナミックな動きが，このよらな雾囲気をつくることに貢献したのかるしれない. 実は，ホイットニーの最初に述べた論文を読んでも，リーマンの思想は伝わってこないのである。その論文をおおらものは, 20 世紀数学がそれまでに形づくってきた，新しい大きな波であった。なおこの多様体の概念は，リーマン計量を入れれば微分幾何の対象となるものであったが，多様体はまた “三角形分割”もできるのである。多様体の位相的な構造がトポロジーの中心課題となったのは，1950 年以降のことである，そしてその頃になって，多様体は
数学を表現し, 総括する基本的な場として, 数学者の前にはっきりと姿を現わしてきたのである。

先生との対話

山田君がまず質問した。

「抽象的な多様体に対する接空間の定義はいいまで聞いたことのないよらな不思議な定義ですね。大体, 多様体といらものを考えよらとすると，ぼくはどらしても 3 次元の中の曲面のようなものを考えてしまいますが，抽象的なときには多様体

M

だけがあって，外の空間など何もないのですよね。そのときの接べクトルって何だろらと考えてしまいます.」

「そうですね，接べクトルも

M

の中から新しく創り出していかなくてはならないのです。接べクトルとは関数を微分する方向を指定するものだといら考えに立つと,

M

上の

C^{\infty}

-級関数と, その関数を局所座標によって微分するとい52つの概念から，ごく自然に接ベクトルの考えが生まれてきます。そらすると局所座標の貼り合わせの違いからくる微分する方向の, いわばかみ合わせの違いが，何か抽象的な多様体の中から浮かび上がる “形”を暗示してくることになるのでしょう.」

明子さんがノートを広げて水曜日のところを見ていたが，「これは何のことだったのかしら」と小声でいって

「曲面のときに，第 1 基本形式を

\sum_{i, j = 1}^{2} g_{i j} d x^{i} d x^{j}

と書きましたが，一般のリーマン幾何の立場で見るとき，この

d x^{i}

といら記号は，一体，何を意味していると考えるのでしょらか.」と質問した。

「

M

をリーマン多様体としましょう，そうすると

M

の各点

P

に接空間

T_{P} (M)

が付いています.

T_{P} (M)

は

n

次元のべクトル空間でした。第 4 週日曜日での話を思い出すと，

T_{P} (M)

に対してその
双対空間

T_{P}^{*} (M)

を考えることができます.

T_{P}^{*} (M)

の元というのは，

T_{P} (M)

から

R へ

線形写像でした。そこで

P \in V_{α}

として，

T_{P} (M)

の基底

{\frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}}

をとると, 対応して

T_{P}^{*} (M)

の双対基底が決まります。この双対基底を

{d x_{α}^{1}, d x_{α}^{2}, \dots, d x_{α}^{n}}

と書くのです。そらすると，

ξ = ξ_{α}^{1} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{1}} + ξ_{α}^{2} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{2}} + \dots + ξ_{α}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{α}^{n}}

に対して

d x_{α}^{i} (ξ) = ξ_{α}^{i}

となります。

したがって，

M

上にリーマン計量を与えるといらこと，すなわち

T_{P} (M)

の接べクトル

ξ, η

に内積

\sum g_{i j}^{α} ξ_{α}^{i} η_{α}^{j}

を与えるということを，双対基底を使って“関数型”で書くと

\sum g_{i j}^{α} d x_{α}^{i} (ξ) d x_{α}^{j} (η)

となるのです。このように書くと何か形式的な解釈にすぎないようで，双対基底を表わす記号

d x

の使い方が，全微分のときに現われる同じ記号

d x

とうまく合致しているのだろらかなどといらことが問題になってきます。それらは現代数学ではすべて整備されて, それが逆に記号

d x

の働きを強めているよらです.」

小林君が

「抽象的な多様体というのは，

R^{N}

の中に入っている多様体とどれだけ違らのですか.」

と質問した。

「おかしなことのよらですが，本質的には違わないといってもよいのです. ホイットニーは

n

次元の多様体

M

は必ず

R^{2 n + 1}

の中の “曲面”として考えることができるといらことを証明したのです。すなわち

M

から

R^{2 n + 1}

の中への 1 対 1 の滑らかなよい写像が存在

することを示したのです.

この先生の答を聞いて, 教室の中から「なあんだ」などといら声が聞えてきた。かず子さんが皆の気持を代弁するよらに質問に立った。

「そうすると抽象的に多様体を定義しても, それは高次元のユークリッド空間の中に結局は入れることができるならば，“外の空間” を見つけることができるわけですね。そんならわざわざいろいろな概念を用意して抽象的な多様体の定義を試みなくともよかったのではないでしょらか.」

先生はじっと考えられてから, 一語, 一語言葉を探すよらな調子で話し出された。

「いいえ，それは必ずしもそうとはい之ないのです。数学のいろいろなところから生まれてくる多様体は，一般にはユークリッド空間の中のある “曲面” の形をとっていませんし，またそのような視点をどのよらにもったらよいかわからない状況で提示されてきます.

たとえば

R^{n}

の原点を通る

p

次元

(0 < p < n)

の平面全体は，1つの多様体をつくることが示されます. といってもそれをどんなふらに考えてよいかはわからないでしょら。まず少しそのことを説明してみましょう，

R^{n}

の中にある原点を通る

p

次元の平面の例として，最初の

p

個の座標平面

L = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p}, 0, 0, \dots, 0)}

をとります。原点のまわりでこの平面を少し変動させて別の

p

次

タでキャッチされるかといらと,

L

上の座標単位ベクトル

e_{1} = (1

0, \dots, 0), \dots, e_{p} = (0, \dots, 0, \frac{p}{1}, 0, \dots, 0)

が

\tilde{L} へ

移って

{\tilde{e}}_{1} = (a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 p}, a_{1 p + 1}, \dots, a_{1 n})

{\tilde{e}}_{p} = (a_{p 1}, a_{p 2}, \dots, a_{p p}, a_{p p + 1}, \dots, a_{p n})

となったとしたとき，L からはみ出した部分の成分

(a_{1 p + 1}, \dots, a_{1 n}), \dots, (a_{p p + 1}, \dots, a_{p n})

でキャッチされます。すなわち

L

の近くにある

p

次元平面

\tilde{L}

は，

p (n - p)

個のデータ

(a_{1 p}, \dots, a_{1 n}, \dots, a_{p p + 1}, \dots, a_{p n})

で決まります. このデータを，L の近くにある平面の局所座標として採用することにします。ほかの平面の近くでも同じような局所座標をとることができ，これによって

R^{n}

の原点を通る

p

次元の平面全体は多様体となることがわかり女す.この多様体をグラスマン多様体といいます.

このグラスマン多様体を見ると, これが多様体になることを保証するのは

p

次元平面の

R^{n}

の中での変化の仕方で, それはいってみれば

p

次元平面の集合の “内部事情” です。私たちが一番注目しているのは, 1 つの平面の近くには

p (n - p)

個のパラメータによる座標が入るといらことであって,

p

次元平面全体の集合の全体像を曲面のように想像しているわけではありません. グラスマン多様体を成立させているものは，

p

次元平面の集りから抽象された性質です. このような幾何学的なものの集りから抽象されて取り出された性質を受ける形で多様体の議論を展開するためには, 抽象的な多様体の視点がどらしても必要となってくるのです. そして現代数学は, 微分幾何学やトポロジーの多くの具体例から生まれてきた多様体に, この抽象的な視点を付すことによって大きく発展したのです.」

お茶の時間

質問ガウスーボンネの定理といらものを聞いたことがありますが，それはどんな定理なのですか。

答閉曲面

S

を考える，

S

は向きづけられているとしょ5．金曜日に述べたよらな位相的な立場では，

S

は穴の数

g

で決まっている.そこで

χ (S) = 2 - 2 g

とおいて,

χ (S)

を

S

オイラー標数という. 金曜日の話を思い出すと，

χ (S)

は

S

を三角形分割したときの (頂点の数) - (辺の数) + （面の数）に等しい。曲面

S

は水曜日，木曜日の立場で見ると曲面論の対象となり，SKは全曲率

κ

がある。

κ

は

S

各点で定義され

た実数値連続関数となっている．

S

上では長さが測れるから(第 1 基本形式!)，したがって

S

上での微小な面積も測れ，

S

上での連

積分すると

\int_{S} κ d S = 2 π χ (S)

が成り立つというのが，ガウスーボンネの定理である.

この等式の左辺に登場している

κ

は, 曲面の微小な変化の様子を,解析的に測って求められたものであるし, 右辺の

χ (S)

は, 曲面全体を大づかみにして得られた位相的な量である. 左辺と右辺に現われる量はまったく性質を異にしている量である。ガウスーボンネの定理によって微分幾何学とトポロジーが多様体を通して互いに結び合ら道が見出されたのである。
日曜日

19 世紀から 20 世紀へ

この 6 週間の物語を通して，第 4 週の線形性を除けば，その基調は主に 19 世紀までの数学においてきた。現代数学を何の準備もなく学びはじめ机，ときにはとれは荒涼とした原野に誘れれているよらな感じを抱かせることもあるだろら. 少なくとも現代数学の精緻な理論体系の彼方に，その理論を創った人間像を思い浮かべることは汇とんどないといってよい。 20 世紀は, 数学の歴史としてはまだ浅いのかもしれない、数学が育ち，また育ってきた柔らかな深い土を知ってもららためには，歴史を振り返ってみるとよいと私は考えた。19 世紀までの数学はすでに十分豊かで，私たちに語りかける多くのものをもっている。その理解に立って現代数学を見ると，そこには現代数学の育っていく姿がはっきりと見えてくるだろら。読者はいまは 20 世紀数学へ向かわれるとよいのである.

19 世紀から 20 世紀へと移るにつれて数学の姿は大きく変わったのである. 19 世紀まで数学は日常取り扱われる量や幾何学的な図形からごく自然に抽象されてきた数学的対象の中に, 十分豊かな数学的対象を育てていた。また実数, 複素数から生まれた解析学は,眼に見える世界で生ずるさまざあな自然現象の解明を通しながら育っていったが, 振り返ってみれば，もともと解析学の基盤は時空の直観の中にあったといってもよかったのである．極限や関数の基礎概念はそこから生まれてきている。そのよらな背景の中にあっては，新しい抽象概念を取り出し数学の中に積極的に取り入れていこうとする強い志向は育ちにくかったといってよいだろら．現代数学にと

ってごく当り前の, 概念の意味を問らといら上らなことも, 改めてそれが数学の問題になり得るものなのかどらかと自問してみると，それは決して明らかなととではないといらことに気がつくのである。幾何の問題や方程式の問題を解くときに集中する意識の中に数学の本質が浮かび上がってくるといら上らに考えると，概念の意味など確かにその外にある。概念といらものが数学者の間で論ぜられるよらになったのは、コーシーなどによって解析学の基礎に対する批判

が登場し，連続性の概念や関数概念を明確にしようとする動きが高まってきてからだろら。

その意味では 1872 年に出版されたデデキントの『連続性と無理数』といらわずか 24 頁の小冊子は，単にそこに述べられている “切断”といら考完の独創性だけではなく, 新しい独特な雾囲気を数学に投入することになった。ここに扱われているのは実数の連続性といら概念であり，そこには数式も図形も描かれていなかったのである。

だが，数学の流れにとってもっとも決定的な意味をもち，19 世紀数学から 20 世紀数学への過渡期に深い影響と波紋を投げかけた

のは，カントルによる集合論の創造であった。カントルは, 1878 年に発表した論文の中で，“ひとつひとつの構成要素がはっきりと識別できるものの集り”といら空漠とした裸の概念を，“集合”として数学の対象としょうとしたのである。もちろんこれだけの概念だけならば，哲学か論理学の対象であったろらけれど，カントルはここに無限概念を重ねることにより，神秘的で深遠な数学の世界を現出させたのである。しかしカントルによって捉えられた無限は，時空の認識からくるある持続性をもつ実体としての無限ではなく, 概念の中だけで累々と構成されていく無限であった。たとえばカントルによれば，実数は 1 つの集合を構成するが，それは実数を 1 つ 1 つ要素としてばらして単なる総体として認めるような対象と化してしまったのである。概念としてだけでみるならば，それで十分自立しているかもしれないが, 実数が数直線から切り離され, 連続性といら属性を捨ててしまったとき,それがどれほど数学の中で不透明なものになるかといらことは, 『数学が生まれる物語』第 2 週で詳しく述べた通りである.

しかしいずれにせよ, カントルによって, 数学は概念の内蔵する働きによって，十分自立することができるといら観点を得たのである. 概念の外延は集合を形成し，内包は集合の上に多くの構造を与えてくることになるだろう。無限といらこの不思議な響きを伝える言葉さえも，集合論の中では 1 つの果てしない理論体系を構築して

いく.（集合論についてはたとえば志賀『集合への 30 講』(朝倉書店)を参照していただきたい））このカントルの提示した無限概念と数学の構成に, 不安と危惧を感じた数学者は多かったし, 20 世紀になっても集合論に対する批判は続いたのであるが，結局のところカントルによって示された世界は, 数学者によって容認されることになった。このような 19 世紀から 20 世紀へかけての数学内部の大きな変化がどこからきたものかといらことに，私はむしろ最近は関心をもつよらになってきた。カントルの天才といらだけではおさまらない，何か謎めいたものがそこにあるよらな気がする。この物語に述べてきたよらな豊かな土を耕すよらな数学からみれば，カントルの集合論は遠い彼方から侵入してきた異邦人のようなものであったといってもよいだろら。

ヒルベルトは 1899 年に有名な『幾何学の基礎』を著わしたが，その中でヒルベルトは抽象的におかれた点と直線から出発し, その相互関係を厳密に公理によって規定することによって, ユークリッド以来の幾何学を算術的世界の中で論理的に構成することに成功した. それと同時に数学の対象は, 集合から出発し, そこに公理体系を与えることによってその構造を規定することにより得られるとい万立場を鮮明なものにしたのである。ヒルベルトは“カントルのつくった楽園から誰も追放されることはない”とカントル的数学を擁護したが，ヒルベルトの見た楽園は，集合概念を根底において公理論的に数学の対象を構築していくという，開かれた自由な思索の展開していく数学の世界であって，カントルといら天才が聞いた，果てしない無限の系列の彼方からやってくる神秘的な謎めいた調べではなかったと思われる。

やがて 1930 年代までを, 抽象数学とよばれる新しい波が数学を大きく打打うようになってきた。19 世紀まで大切に育てられてきたさまざまな概念が取り出され，批判され，集合概念の上に新しい装いをつけて登場してきたのである。この大きな波のらねりの中から，“近さ”といら先験的ともい完る直観を，数学的な概念として結晶させた位相空間論や, 量的な感覚を一切捨て去って数のもつ演
算の働きだけを抽出した抽象代数学が誕生してきた。そこには群，環，体，多元環などの概念が 1 つの視野の中におさめられたのである。また解析学の背景に, 無限次元空間と線形性を打こらとする関数解析学が盛んとなって，ヒルベルト空間，バナッ八空間の理論がそこに展開した。

このような潮流の中にあって, 19 世紀半ばまではグラスマンやリーマンの先駆的な業績を除けばなお霧中にあった高次元の幾何学が, 2 次元, 3 次元と同じような視点で研究されるよらになった. そこには方法の違いによって, 微分幾何学, リー群論, トポロジーなどが激しく交錯したのである。

抽象数学の動きは, 数学の内部におきた学問の自立性への志向と,抽象といら高い視点を得ることによって，数学が有機体としてさらに総合的な働きをすることを目指したものであったと考えられるが，不思議なことに，ここで得られた数学は，アインシュタインの一般相対性理論や，ボアー，八イゼンベルク，シュレディンガーなどによって創られた量子力学が示した世界像の数学的表現に実によく適合したのである。それは大きくいえば，数学の表現も，物理的世界観も，人間の文化の流れの中にあって，同じ時間を共有しながら 1 つになって流れていくといらことを示したものかもしれない.

抽象数学によって数学が 1 つ立脚点に立ったとき, 改めて 19 世紀までの数学を見直すといら機運が 1940 年代あたりから徐々にはじまったようであるが，そこには抽象数学だけでは決しておおえなかったよらな実に豊かな数学を育てる種子が蒔かれていたことがわかってきたのである．数学の表現形式や潮の流れは，時代とともに変わることはあっても，数学を支えているものは変わることはない、数学はいまもその土壌を耕しながら，未来に向けて確実に育ち続けているのである。

むすび

20 世紀数学は, 多くの概念と方法を導入しながら急速に発展し，前世紀までには予想もできなかったよらな大きな学問の世界を構築するにいたった。その理論全体を俯瞰するような場所を見出すことは，専門家にとってさ完汇とんど不可能なことになってきた。数学に関心のある人が，このよらな現代数学に近づこらとするとき，最初の障害は，次々と登場してくる概念の意味がはっきりせず，また適用される方法の妥当性, つまり考兄る筋道の必然性がはっきりしないといらことにある，場合によっては，問題としているテーマ自身が霧に包女れているよらにみ完るときもある。とれは現代数学がその基盤を抽象性においているからであろら。

私は以前から，現代数学の実りを支える豊かな土壤に䉤を入れ，掘り起こしてみるような仕事をしてみたいと思っていた. 現代数学の中に繰りこまれている高度の概念や方法や考之方など, すべて長い数学の歴史の中から培われてきたものである。数学を学ぼらとする人たちにも歴史が育てたこの豊かな土壌を知ってもらいたいと思った.

幸い『数学が生まれる物語』の続編を書くよらに特勧めがあったので，この機会に私のこの考えを『数学が育っていく物語』に盛ってみよらと思ったのである. 1 年 2 力月程度の時間をかけて, 6 冊を書き上げてみると, 私は執筆当初思いもかけなかった 1 つの感慨にいつしかふけるよらになっていた。とれは数学といら学問がつねに対峙し, それに向かって問いかけているのは, 歴史ではないかといらことである. 物理学をはじめとする諸科学が，自然現象の中に広がりと深さを求めながら, 時間の先の方向へと進んでいくのに対し, 数学は歴史の奥へ, 奥へと入っていく. 諸々の概念や方法の可能性をひとつひとつ確かめながら, 数学は新しい問題の中に創造の道を求めて歩んでいる。ここで確かめているのは実は数学の過ぎてきた道である。数学者はつねに同じ道を歩み続けているにすぎない。

やがて通ってきた道を振り返れば，そこにはつねに同じ形をとって数学の育ちゆく姿が見えるだろう。この私の感慨が，本書を通して，いくらかでも読者とわかちあらことができるならば, 私としては嬉しいことである.

なお, 岩波書店の宮内久男さんには, 『数学が生まれる物語』から本書にいたるまで，すべての点で大変お世話になった。ここに深く感謝の意を述べさせていただきます.

問題の解答

月曜日

[1]

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

を確かめるとよい.

[2]

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = z

が成り立つから双曲放物面である.

火曜日

[1] 原点以外では偏微分可能である. たとえば

(a, b) \neq (0, 0)

のとき

\frac{\partial f}{\partial x} (a, b) = \frac{b (a^{2} + b^{2}) - 2 a^{2} b}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \frac{b (b^{2} - a^{2})}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}

原点では

f (h, 0) = f (0, k) = 0

に注意すると

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{1}{h} {f (h, 0) -

f (0, 0)} = 0, \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = 0

となる.

[2]

x \neq 0

では偏微分可能であって,

(a, b), a \neq 0

では

\frac{\partial f}{\partial x} (a, b) = b \sin \frac{1}{a} - \frac{b}{a} \cos \frac{1}{a}, \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) = a \sin \frac{1}{a}

となる. また原点では

f (h, 0) = f (0, k) = 0, f (0, 0) = 0

に注意すると偏微分可能のことがわかり

\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = 0

となる.

(0, b), b \neq 0

では,

\frac{f (h, b) - f (0, b)}{h} = \frac{h b \sin \frac{1}{h}}{h} = b \sin \frac{1}{h}

は

h \to 0

のとき収束しないから

\frac{\partial f}{\partial x} (0, b)

は存在しない. 一方

\frac{\partial f}{\partial y} (0, b) = 0

である.

したがって,

(0, b), b \neq 0

で

\frac{\partial f}{\partial x} (0, b)

は存在しない.

3 (6)から

\begin{aligned} F (t) & = f (a + t h, b + t k) \\ ≑ f (a, b) + f_{x} (a + t h, b + t k) t h + f_{y} (a + t h, b + t k) t k \end{aligned}

となる.したがって

F^{'} (0) = lim_{t \to 0} \frac{F (t) - F (0)}{t} = f_{x} (a, b) h + f_{y} (a, b) k

(3）（2）の結果をもら少し一般にして

F^{'} (t) = f_{x} (a + t h, b + t k) h + f_{y} (a + t h, b + t k) k

が成り立つことがわかる。この両辺を

t

でもら一度微分するとき，たとえばこの結果を

f_{x} (a + t h, b + t k)

に適用すると

\frac{d}{d t} f_{x} (a + t h, b + t k) = f_{x x} (a + t h, b + t k) h^{2} + f_{x y} (a + t h, b + t k) h k

となる. 同様の式が

f_{y} (a + t h, b + t k)

を

t

で微分した式にも成り立つ. のことから

F^{''} (t)

の表示が得られる.

(4)

f (a + h, b + k) = f (a, b) + h f_{x} (a, b) + k f_{y} (a, b)

+ \frac{1}{2} {h^{2} f_{x x} (a + θ h, b + θ k) + 2 h k f_{x y} (a + θ h, b + θ k)

+ k^{2} f_{y y} (a + θ h, b + θ k)}

水曜日

[1]

E = 1, F = 0, G = \cos^{2} u

[2]

e = 1, f = 0, g = \cos^{2} u

[3]

E = r^{2}, F = 0, G = (R + r \cos u)^{2}

e = r, f = 0, g = (R + r \cos u) \cos u

木曜日

[2]

e g - f^{2} = r (R + r \cos u) \cos u

と

E G - F^{2} = r^{2} (R + r \cos u)^{2}

と (4) からわかる.

K > 0

となるのは一番高い尾根から

一番低い尾根へ外側をまわった範囲

[3]（5）でいまの場合，

u = x, v = y

である.

E = \frac{1}{y^{2}}, F = 0, G = \frac{1}{y^{2}}

を用いて計算すると (5)の左辺が

\frac{4}{y^{8}} K

, 右辺が

- \frac{4}{y^{8}}

となり, これから

K

= - 1

が導かれる。

金曜日

[1] 図は, クラインの壼をつくるときの長方形の真中を走る帯を 1 つのメービウスの帯とし, 上下 2 つの帯を貼り合わせて, も5 1 つのメービウスの帯を取り出したものとなっている.

[2]これは図から明らかだろら。

[3] 問題 [2]から射影平面は,メービウスの帯に円板を貼ったものになっている，2つの射影平面をもってきて，この円板部分を切りとって貼り合わせ連結和をつくると，これは 2 このメービウスの帯を貼り合わせたものになっている. 問題 [1]によりそれはクラインの壼である.

索引

\begin{array}{lr} ヒルベルト & 59, 108, 172 \\ ヒルベルト空間 & 173 \\ v 曲線 & 60 \\ フーリェ & 84 \\ フェルマー & 21 \\ フォン・コッセン & 59 \end{array}

複素曲面 11

負の定曲率曲面 94

フルネ 76

フルネ-セレーの公式 56

フンボルト 100

閉曲面 122

平均曲率 79

平行線 93

平面の方程式 34

ヘーゲル 104

ベルトラン 76

ベルヌーイ

21, 22, 46, 48

ヘルバルト 101

ベルリン大学 100

偏導関数 31,153

偏微分 31

偏微分可能 31

ボアー 173

ポアンカレ

132, 135, 142

ホイットニー161,164

ホイヘンス 21,48

法曲率 69

法截面 66

法線方向のベクトル 37

放物的点

73

ホモロジー 132

ホモロジー類 136

ボリヤイ 95

ポンスレー 76

ま行

ミンコフスキー

ムーニェ

76, 79

ムーニエの定理向き 126

向きづ可能 127

向きづけ可能でない 127

向きづけ可能な曲面 129

向きづけ不可能な曲面 130

無限171

メービウスの帯 137

メルカトール 22

メルカトールの投影法 22

モンジュ

48, 75, 76, 84, 142

や行

ヤコビ 100

u

曲線 60

ユークリッド幾何学

48, 85, 98

ら行

ライプニッッ

21, 48, 130

ラグランジュ 84

ラプラス 84

リ一群論 173

リーマン

85, 95, 98, 99, 102, 103

104,142

リーマン計量 161

リーマン多様体 161

リーマン予想 103

リスティング 101,102

リッチ 99,161

リューヴィユ 76

稜 112

領域 30

量子力学 173

レヴィ・チヴィタ 99,161

連結和 128

連続 30

ロドリグ 76

ロバチェフスキー 95

わ行

ワイエルシュトラス 102,103

1994 年 9 月 5 日第 1 刷発行

2000 年 6 月 26 日第 6 刷発行

著者志賀浩告

発行者大塚信一

発行所株式会社岩波書店

〒101-8002 東京都千代田区一ツ橋 2-5-5

電話案内 03-5210-4000 http://www. iwanami.co.jp/

印刷・法令印刷カバー印刷・NPC 製本・中永製本

ISBN4-00-007916-6 Printed in Japan

R

数学が育っていく物語

(全 6 冊)

志賀浩二著

微積分, 線形代数, 関数論, 方程式, フーリエ解析, 多様体などのテーマを高校 2 年 3 年生くらいの数学の知識でわかるよらにやさしく語ります.数学が苦手な人でも「なるほど」と納得して理解できます。数学が得意な人はさらに数学への意欲がわいてきます. 読み進むらちに心の中に数学が大きく育っていきます.

第 1 週極限の深み一数列と級数

月曜極限と連続性／火曜収束／水曜級数/木曜絶対収束と条件収束金曜べキ級数/土曜べキ級数の表わす関数/日曜オイラー数学の光第 2 週解析性一実数から複素数へ

月曜平均値の定理／火曜テイラーの定理／水曜複素数／木曜正則関数/金曜コーシーの定理／土曜解析性/日曜二, 三の話題

第 3 週積分の世界——様収束とフーリェ級数

月曜積分の定義

/

火曜積分の 1 つの働きと一様収束

/

水曜関数列の微分・積分と完備性/木曜三角多項式/金曜フーリエ級数/土曜積分的世界/日曜一様分布

第 4 週線形性—有限次元から無限次元へ

月曜平面のベクトルからベクトル空間へ／火曜ベクトル空間と線形写像 /水曜内積/木曜複素ベクトル空間／金曜ヒルベルト空間／土曜七ルベルト空間の線形作用素/日曜双対性

第 5 週方程式一解ける鎖、解けない鎖

月曜解と保数の関係 / 火曜 3 次方程式と 4 次方程式

/

水曜既約性と可約性/木曜 5 次方程式の代数的解法の不可能性 /金曜置換群と方程式/土曜ガロア群/日曜群というもの

第 6 週曲面一硬い面, 柔ら汃面

月曜曲面を見る視点

/

火曜 2 変数の関数と曲線の曲率

/

水曜第 1 基本形式と第 2 基本形式/木曜ガウスからリーマンへ/金曜三角形を貼る／土曜多様な姿を与える場/日曜 19 世紀から 20 世紀へ

三角形を貼る

先生の話

正多面体

オイラーの公式

球面の三角形分割

ドーナツ面に対するオイラーの公式

いくつかの穴のあいた曲面

三角形を貼り合わせる一一閉曲面

ドーナツ面, クラインの壼, 射影平面

向きづけ可能と向きづけ不可能

連結和

閉曲面の分類定理

歴史の潮騒

先生との対話

お茶の時間

土曜日

先生の話

曲面上の局所座標系

位相多様体

滑らかな多様体

接ベクトル

局所座標による偏微分

1 つの転換

多様体の定義

（I）コンパクトなハウスドルフ空間 X X X\boldsymbol{X}X

（【）局所座標系

(四) 滑らかな構造

リーマン多様体

歴史の潮騒

先生との対話

お茶の時間

むすび

問題の解答

月曜日

火曜日

水曜日

木曜日

金曜日

索 引

ま 行

わ 行

数学が育っていく物語

（I）コンパクトなハウスドルフ空間 $X$

索引

ま行

わ行